高校数学：数III微分：なぜsinxを微分するとcosxに, cosxを微分すると-sinxになるか

こんにちは。この証明は導出できるように解き方を覚えていた方がいいです。やり方さえ覚えていれば公式はその場で導出できるはずです。それではどうぞ。

sinxを微分するとcosxになるわけ

$\sin x$ を導関数の定義にしたがって微分すると,
$(\sin x)'=\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{\sin(x+h)-\sin x}{h}$
ここで, $\sin(x+h)-\sin x$ を和積の公式で1つにしたいのだが,
和積の公式を忘れたので, それを導出する。
$\sin$ の加法定理より,
$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\cdots\maru1$
$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\cdots\maru2$
$\maru1-\maru2$ を計算すると,
$\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta\cdots(A)$
左辺と $\sin(x+h)-\sin x$ と比較すると,
$\alpha+\beta=x+h\cdots\maru3$
$\alpha-\beta=x\cdots\maru4$
$\maru3, \maru4$ の連立方程式を解くと,
$\alpha=\dfrac{2x+h}{2}$ , $\beta=\dfrac{h}{2}\cdots(B)$
よって, $(A), (B)$ より,
$\sin(x+h)-\sin x=2\cos\alpha\sin\beta=2\cos\left(\dfrac{2x+h}{2}\right)\sin\dfrac{h}{2}$
これを用いると,
$\begin{array}{lll}(\sin x)'&=&\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{\sin(x+h)-\sin x}{h}\\&=&\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{2\cos\left(\dfrac{2x+h}{2}\right)\sin\dfrac{h}{2}}{h}\\&=&\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\cdot\cos\left(\dfrac{2x+h}{2}\right)\\&=&\cos x\end{array}$

cosxを微分すると-sinxになるわけ

$\cos x$ を導関数の定義にしたがって微分すると,
$(\cos x)'=\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{\cos(x+h)-\cos x}{h}$
ここで, $\cos(x+h)-\cos x$ を和積の公式で1つにしたいのだが,
和積の公式を忘れたので, それを導出する。
$\cos$ の加法定理より,
$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\cdots\maru1$
$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\cdots\maru2$
$\maru1-\maru2$ を計算すると,
$\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)=-2\sin\alpha\sin\beta\cdots(A)$
左辺と $\cos(x+h)-\cos x$ と比較すると,
$\alpha+\beta=x+h\cdots\maru3$
$\alpha-\beta=x\cdots\maru4$
$\maru3, \maru4$ の連立方程式を解くと,
$\alpha=\dfrac{2x+h}{2}$ , $\beta=\dfrac{h}{2}\cdots(B)$
よって, $(A), (B)$ より,
$\cos(x+h)-\cos x=-2\sin\alpha\sin\beta=-2\sin\left(\dfrac{2x+h}{2}\right)\sin\dfrac{h}{2}$
これを用いると,
$\begin{array}{lll}(\cos x)'&=&\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{\cos(x+h)-\cos x}{h}\\&=&\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{-2\sin\left(\dfrac{2x+h}{2}\right)\sin\dfrac{h}{2}}{h}\\&=&\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\cdot -\sin\left(\dfrac{2x+h}{2}\right)\\&=&-\sin x\end{array}$