高校数学：数III：微分：商の微分の公式のなぜ

こんにちは。今回は商の微分について書いておきます。なんであの公式なんでしょう。その証明を書いておきます。

商の微分の公式

商の微分の公式とは以下のものを表す。
$x$ についての関数 $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ を $x$ について微分すると,
$\left\{\dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}'=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\left\{g(x)\right\}^2}$
となる。

証明

証明は導関数の定義にしたがって行われます。
$\begin{array}{lll}\left\{\dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}'&=&\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{hg(x+h)g(x)}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x)}{hg(x+h)g(x)}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{\left\{f(x+h)-f(x)\right\}g(x)-f(x)\left\{g(x+h)-g(x)\right\}}{hg(x+h)g(x)}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x)-f(x)\left\{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right\}}{g(x+h)g(x)}\\&=&\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\left\{g(x)\right\}^2}\end{array}$
よって,
$\left\{\dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}'=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\left\{g(x)\right\}^2}$
となる。
【証明のコツ】
2行目から3行目の変形では, 分子に $-f(x)g(x)+f(x)g(x)$ を追加しており, 4行目から5行目へと変形するときに, 導関数の定義が使えるように分母分子を $h$ で割っている。

商の微分の公式

証明

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