高校数学：整式：降べきの順・昇べきの順について

こんにちは。今回は降べきの順・昇べきの順について書いておきます。

降べきの順・昇べきの順とは

【降べきの順】
ある文字について, 各項の次数の高い(大きい)順に整理することを降べきの順に整理すると言います。
例えば,
$-3x+x^3+2-6x^2$
という式を $x$ について降べきに順に整理すると,
$x^3-6x^2-3x+2$
という具合に, $x$ の次数が, 3 $(x^3)$ , 2 $(-6x^2)$ , 1 $(-3x)$ , 0(定数項, $+2$ )と, 次数が高いものから順に並ぶように整理することを降べきの順に整理すると言います。
【昇べきの順】
ある文字について, 各項の次数の低い(小さい)順に整理することを降べきの順に整理すると言います。
例えば,
$-3x+x^3+2-6x^2$
という式を $x$ について降べきに順に整理すると,
$2-3x-6x^2+x^3$
という具合に, $x$ の次数が, 0(定数項, $+2$ ), 1 $(-3x)$ , 2 $(-6x^2)$ , 3 $(x^3)$ と, 次数が低いものから順に並ぶように整理することを昇べきの順に整理すると言います。

※昇べきの順は降べきの順に比べると, 出現頻度は低いかもしれませんが, 出題されたら答えられるようにしておきましょう。

文字が複数ある場合

例えばここでは, 次のような問題が出題されます。

【例題】次の整式について, 以下の問いに答えよ。
$xy+3x^3-2x^2y-y^2+5x-3$
(1) $x$ について, 降べきの順に整理しなさい。
(2) $y$ について, 降べきの順に整理しなさい。

(1) ここでは, $x$ が文字扱いなので, $x$ について降べきの順に整理すると,
$3x^3-2x^2y+xy+5x-y^2-3$
ですが, これでは正解でないことが多いです。次のようにきちんと区別することが求められます。
$3x^2-2yx^2+(y+5)x+(-y^2-3)$
$\mathrm{Point}$ は3か所あります。
$\bullet\mathrm{Point}1\ :$ $-2x^2y\longrightarrow -2yx^2$
$x$ が文字で, $-2y$ が係数であることを明確に示すために, $-2y$ を $x^2$ の前に書くこと。
$\bullet\mathrm{Point}2\ :$ $xy+5x\longrightarrow (y+5)x$
$x$ の同類項が複数ある場合は, 文字(この場合 $x$ )を後ろに書いてかっこでくくり, 係数部分(この場合 $(y+5)$ )を前に書くこと。
$\bullet\mathrm{Point}3\ :$ $(-y^2-3)$
定数項の部分はかっこでまとめる。ここは $-(y^2+3)$ としても可。また定数項をかっこでくくらなくても正解をくれる先生がいるので, その辺は学校の先生に聞いてみてください。かっこでくくっていれば間違いなく正解です。
(2) ここでは, $y$ が文字扱いです。上の $\mathrm{Point}1\sim3$ に注意しながら整理すると,
$y^2+(-2x^2+x)y+(3x^3+5x-3)$
となります。
$y^2-(2x^2-x)y+(3x^3+5x-3)$ としてもいいでしょう。

ポイント

$\bullet$ 次数の高い順に整理することを降べきに順といい, 次数の低い順に整理することを昇べきの順という。
例： $x$ について, 整理するときの $\mathrm{Point}$
$\bullet\mathrm{Point}1\ :$ $-2x^2y\longrightarrow -2yx^2$
$x$ が文字で, $-2y$ が係数であることを明確に示すために, $-2y$ を $x^2$ の前に書くこと。
$\bullet\mathrm{Point}2\ :$ $xy+5x\longrightarrow (y+5)x$
$x$ の同類項が複数ある場合は, 文字(この場合 $x$ )を後ろに書いてかっこでくくり, 係数部分(この場合 $(y+5)$ )を前に書くこと。
$\bullet\mathrm{Point}3\ :$ $(-y^2-3)$
定数項の部分はかっこでまとめる。ここは $-(y^2+3)$ としても可。

降べきの順・昇べきの順とは

文字が複数ある場合

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