高校数学：整式：特定の文字に着目した場合の次数と係数

こんにちは。今回は特定の文字に着目した式の見方の勉強です。

【　】の中の文字に着目するとは

よく問題文で【　】の中の文字に着目してとありますが, あれはどういう意味かと申しますと, 【　】の中の文字を文字として扱ってください。【　】の中の文字以外は定数項(数)として扱ってくださいということです。それでは例題を見ていきましょう。

例題

【例題】【　】の中の文字に着目したとき, 次数と係数を答えよ。
(1) $3x^2y$ 【 $x$ 】
(2) $2abc$ 【 $b$ 】
(3) $5abc^2$ 　【 $a, c$ 】

【解説】
(1)の場合, 文字扱いになるのは, $x$ ですから, $x$ の次数は2なので, 次数は2となり, それ以外は数扱いなので, 係数は $3y$ となります。
次数2, 係数 $3y\cdots$ (答)
(2)の場合, 文字扱いになるのは, $b$ ですから, $b$ の次数は1なので, 次数は1で, それ以外は数扱いなので, 係数は $2ac$ となります。
次数1, 係数 $2ac\cdots$ (答)
(3)の場合, 文字扱いになるのは, $a, c$ ですから, $a$ の次数は1, $c$ の次数は2なので, 次数は3 $(1+2)$ になります。それ以外は数扱いなので, 係数は $5b$ となります。
次数3, 係数 $5b\cdots$ (答)

多項式では

多項式では次のように, 多項式の次数と定数項を答える問題がよく登場します。例題を見ていきましょう。

【例題】 $x$ に着目した場合, 次の式の次数と定数項を答えなさい。
$x^2+3x^3y+y^2+x-3$

式を各項に区切って見ていく,
$x^2/+3x^3y/+y^2/+x/-3$
$x$ に着目するということは, $x$ だけが文字扱いになるので, 各項を見ると,
$x^2$ は次数2,
$3x^3y$ は次数3
$y^2$ は次数0
$x$ は次数1
$-3$ は次数0
よって, 次数が最も高いのは3なので, この式の次数は3になります。
定数項は次数が0の項を集めたものですから, この場合 $y^2$ と $-3$ が次数0。
よって, 定数項は $y^2-3$ となります。
次数3(三次式), 定数項 $y^2-3\cdots$ (答)

もう少し例題を見ていきましょう。

【例題】 $a, b$ に着目した場合, 次の式の次数と定数項を答えなさい。
$a^2c+3a^3b+b^2-c-3$

式を各項に区切って見ていく,
$a^2c/+3a^3b/+b^2/-c/-3$
$a, b$ に着目するということは, $a, b$ が文字扱いになるので, 各項を見ると,
$a^2c$ は $a$ が次数2, $b$ は次数0で次数2 $(2+0)$
$3a^3b$ は $a$ が次数3, $b$ は次数1で次数4 $(3+1)$
$b^2$ は $a$ が次数0, $b$ は次数2で次数2 $(0+2)$
$-c$ は $a$ が次数0, $b$ も次数0で次数0 $(0+0)$
$-3$ は $a$ が次数0, $b$ も次数0で次数0 $(0+0)$
よって, 次数が最も高いのは4なので, この式の次数は4になります。
定数項は次数が0の項を集めたものですから, この場合 $-c$ と $-3$ が次数0。
よって, 定数項は $-c-3$ となります。
次数4(四次式), 定数項 $-c-3\cdots$ (答)