TikZ：カテナリー曲線とその類似関数のグラフ

こんにちは。今回はカテナリー曲線とその類似関数のグラフの特徴を示しておきます。頻出系の関数ですので, グラフの概形など覚えておきましょう。

カテナリー曲線

$y=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$ カテナリー
$f(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$ とおくと,
$f'(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$
$f''(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}>0$
$f'(x)=0$ となるのは, $x=0$ のとき, このときこの曲線は極小値をとり, その値は $0$ 。
極大値はない。
変曲点は $f''(x)>0$ より, 存在しない。
グラフの漸近線(曲線)は $x\geqq0$ のとき, $y=\dfrac{e^x}{2}$ , $x<0$ のとき, $y=\dfrac{e^{-x}}{2}$ となる。
これは, $x\geqq0$ で, $x\to+\infty$ のとき, $\dfrac{e^{-x}}{2}\to0$ となるので, $f(x)$ は $y=\dfrac{e^x}{2}$ に近づき,
$x<0$ で, $x\to-\infty$ のとき, $\dfrac{e^x}{2}\to0$ となるので, $f(x)$ は $y=\dfrac{e^{-x}}{2}$ に近づくことからわかる。

ちなみに, $f(x)=f(-x)$ が成り立つので, カテナリーは偶関数である。

和の部分を差に変えた関数

$y=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$
$f(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$ とおくと,
$f'(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}>0$
$f''(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$
$f'(x)>0$ より, $f(x)$ は単調増加の関数である。よって, 極値は存在しない。
$f''(x)=0$ とすると, $x=0$ なので, 変曲点は $(0, 0)$ になる。
グラフの漸近線(曲線)は $x\geqq0$ のとき, $y=\dfrac{e^x}{2}$ , $x<0$ のとき, $y=-\dfrac{e^{-x}}{2}$ となる。
これは, $x\geqq0$ で, $x\to+\infty$ のとき, $\dfrac{e^{-x}}{2}\to0$ となるので, $f(x)$ は $y=\dfrac{e^x}{2}$ に近づき,
$x<0$ で, $x\to-\infty$ のとき, $\dfrac{e^x}{2}\to0$ となるので, $f(x)$ は $y=-\dfrac{e^{-x}}{2}$ に近づくことからわかる。