高校数学：数II：不等式の証明問題

2023年5月2日

こんにちは。定期テストに出題されやすい問題をやってみましょう。それではどうぞ。

問題

【問題】 $a>0$ , $b>0$ とする。不等式 $2\sqrt{\mathstrut a}+\sqrt{\mathstrut b}>\sqrt{\mathstrut 4a+b}$ が成り立つことを証明せよ。

解答例

【解答例】
左辺と右辺の平方の差を考えると,
$\left(2\sqrt{\mathstrut a}+\sqrt{\mathstrut b}\right)^2-\left(\sqrt{\mathstrut 4a+b}\right)^2=4a+4\sqrt{\mathstrut ab}+b-(4a+b)=4\sqrt{\mathstrut ab}>0$
これより,
$\left(2\sqrt{\mathstrut a}+\sqrt{\mathstrut b}\right)^2>\left(\sqrt{\mathstrut 4a+b}\right)^2$
$2\sqrt{\mathstrut a}+\sqrt{\mathstrut b}>0$ , $\sqrt{\mathstrut 4a+b}\right)>0$ なので,
$2\sqrt{\mathstrut a}+\sqrt{\mathstrut b}>\sqrt{\mathstrut 4a+b}$ が成り立つ。

問題

解答例

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