高校数学：数II：相加相乗平均の問題

2023年5月2日

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こんにちは。定期テストの頻出系の問題をやっておきましょう。

問題

【問題】 $a>0$ , $b>0$ のとき, 不等式 $\left(a+\dfrac4b\right)\left(b+\dfrac4a\right)\geqq16$ を証明せよ。また, 等号が成り立つのはどんなときか調べよ。

解答例

【解答例】
左辺を展開るすると,
$\left(a+\dfrac4b\right)\left(b+\dfrac4a\right)=ab+4+4+\dfrac{16}{ab}=ab+\dfrac{16}{ab}+8\cdots\maru1$
$a>0$ , $b>0$ より, $ab>0$ , $\dfrac{16}{ab}>0$ なので,
相加相乗平均の大小関係より,
$ab+\dfrac{16}{ab}\geqq2\sqrt{ab\cdot\dfrac{16}{ab}}=8$
よって,
$ab+\dfrac{16}{ab}\geqq8$
辺々に8を加えると,
$ab+\dfrac{16}{ab}+8\geqq16$
これは, $\maru1$ より,
$\left(a+\dfrac4b\right)\left(b+\dfrac4a\right)\geqq16$
となるので, 題意の不等式が成り立つ。
等号が成立するのは,
$ab=\dfrac{16}{ab}$ のときで,
$a^2b^2=16$ , $ab>0$ より, $ab=4$ のときである。

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