高校数学：整数：33の20乗を90で割った余り(愛媛大)

こんにちは。あまりの問題です。ゴリゴリやっていきましょう？

2013愛媛大学

【問題】 $33^{20}$ を90で割ったときの余りを求めよ。
【2013愛媛大】

解答例

【解答例】
$33^2=1089$
$33^{20}=(33^2)^{10}=1089^{10}$
1089は90で割ると9余るので,
$1089\equiv9\, (\text{mod}90)$
したがって, 次のように書き換えることができる。
$1089^{10}\equiv9^{10}\, (\text{mod90})$
これは $1089^{10}$ を90で割った余りは $9^{10}$ を割った余りと等しいという意味。
ここで, $9^{10}$ を次のように分解すると,
$9^{10}=(9^3)^3\cdot9=729^3\cdot9$
729を90で割った余りは9なので, これは次のように書ける。
$9^{10}=729^3\cdot9\equiv9^3\cdot9\equiv9\cdot9=81\, (\text{mod90})$
$729$ を90で割った余りは9なので, $729^3$ を90で割った余りは $9^3$ を90で割った余りと等しく, そしてそれは9になるということを意味している。
よって余りは81

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解答例

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