高校数学:微分:定期テスト対策(微分の定義にしたがって微分する)

こんにちは。微分の定義についての問題です。それではどうぞ。

問題

【問題】次の会話文を読んで【 】の中を適当な語句や式で埋めなさい。【\maru5】は途中の計算式も書くこと。
A:微分係数って何ですか?
B:微分係数の定義を考えてみると, 関数y=f(x)上のxの値がaからbに変化するときの平均変化率【\maru1】において, bを限りなくaに近づけたときの値を言うので, 【\maru2】と書けます。この値を関数y=f(x)の点aにおける微分係数と言い, f'(a)と表します。また, 【\maru2】の式で, b-a=hとおくと, b\to aのとき, h\to0となり, 【\maru2】の式を書き換えると, \displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}となります。これらが微分係数f'(a)の定義です。
A:平均変化率って, 直線の【\maru3】と同じ意味をもちますね。
B:そう。だからf'(a)は関数y=f(x)の点aにおける【\maru4】の傾きを表すことになるんだ。
A:そうなんですね。それでは, y=3x^2-2xx=2における微分係数を, 微分係数の定義にしたがって求めると, 【\maru5】となりますね。
B:一般にx^nを微分すると, 【\maru6】となることが知られています。

【解答例】
\maru1\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}
\maru2\displaystyle\lim_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}
\maru3】傾き
\maru4】接線
\maru5
\begin{array}{lll}f'(2)&=&\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{3(2+h)^2-2(2+h)-(3\cdot2^2-2\cdot2)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{3h^2+10h}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to0}3h+10\\&=&10\end{array}
\maru6nx^{n-1}

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