高校数学：数列：定期テスト対策(等差数列に関する問題)

2023年5月30日

こんにちは。定期テスト対策です。それではどうぞ。

問題

【問題】第5項が38, 第12項が17である等差数列 $\left\{a_n\right\}$ について次の問いに答えよ。
(1) この数列の一般項 $a_n$ を求めよ。
(2) この数列の初項から第何項までの和が最大になるか答えよ。また, その和を求めよ。

解答例

【解答例】
(1) この数列の初項を $a$ , 公差を $d$ とおくと, 一般項 $a_n$ は
$a_n=a+d(n-1)$ とおける。
問題より,
$a_5=a+4d=38\cdots\maru1$
$a_{12}=a+11d=17\cdots\maru2$
であるから, $\maru1, \maru2$ を解いて, $a=50, d=-3$
よって,
$a_n=50-3(n-1)$
ゆえに求める一般項 $a_n$ は,
$a_n=-3n+53\cdots$ (答)
(2) 公差が負の数なので, 第何項で初めて負の数になるか考える。
$-3n+53<0$ とすると,
$n>\dfrac{53}{3}=17.6\cdots$
つまり, 第18項目以降が負の数になるので, 第17項目までの和が最大。
$a_{17}=-3\cdot 17+53=2$
よって, その和は,
$\dfrac12\cdot 17\cdot(50+2)=442\cdots$ (答)

問題

解答例

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