高校数学：数列：群数列の問題(福島大学改題)

こんにちは。群数列の問題をやってみましょう。

2012福島県改題

【問題】 $a_1=2$ , $a_{n+1}=-2a_n+3\, (n=1, 2, 3, \cdots)$ で定められる数列 $\left\{a_n\right\}$ を次のような群に分ける。このとき, 以下の問いに答えなさい。
$|a_1,|a_2, a_3, a_4,|a_5, a_6, a_7, a_8, a_9, |a_{10}, a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14}, a_{15}, a_{16},|a_{17}, \cdots$
ただし, $a_1$ は第1群, $a_2$ ～ $a_4$ は第2群, $a_5$ ～ $a_9$ は第3群, $a_{10}$ ～ $a_{16}$ は第4群, $a_{17}\cdots$ は第5群, $\cdots$ とします。
(1) 第10群に含まれる項の個数を答えなさい。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めなさい。
(3) $a_n=1025$ となる項 $a_n$ は第何群に含まれているか求めなさい。
(4) 第 $k$ 群の最初の数を $k$ を用いて表しなさい。
【福島大改題】

解答例

【解答例】
(1) $k$ 群の項の個数は $2k-1$ (個)なので, $k=10$ より, 19個 $\cdots$ (答)
(2) $a_{n+1}=-2a_n+3$ は,
$a_{n+1}+\alpha=-2(a_n+\alpha)$ と変形できるので,
$\alpha$ を求めると, $\alpha=-1$ 。したがって,
$a_{n+1}-1=-2(a_n-1)$ となり,
数列 $(a_n-1)$ は初項 $a_1-1=2-1=1$ 公比 $-2$ の等比数列なので,
$a_n-1=(-2)^{n-1}$
よって,
$a_n=(-2)^{n-1}+1\cdots$ (答)
(3) $(-2)^{n-1}+1=1025$
$(-2)^{n-1}=1024$
$1024=2^{10}$
$n-1=10$ より, $n=11$
第11項は第4群なので, 第4群 $\cdots$ (答)
(4) $k\geqq2$ とすると, $k$ 群の最初の数の項の番号 $m$ は, $(k-1)$ 群までの項の個数の和に1を加えたものだから,,
$\begin{array}{lll}m&=&\displaystyle\sum_{\ell=1}^{k-1}(2\ell-1)+1\\&=&2\cdot\dfrac12k(k-1)-(k-1)+1\\&=&k^2-2k+2\end{array}$
これは $k=1$ のときも成り立つ。
よって, $k$ 群の最初の数は,
$(-2)^{m-1}+1=(-2)^{k^2-2k+1}+1$
$(-2)^{k^2-2k+1}+1\cdots$ (答)

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2012福島県改題

解答例

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