高校数学：数III積分：a^xの積分忘れたら微分して思い出そう

2023年7月9日

まぁ何のこっちゃ分からないかもしれませんが, $a^x$ の積分結果をつい忘れてしまったときの対処法です。落ち着いてやっていきましょう。 $a^x$ の微分の結果も忘れたってときも役立つかもしれませんね？それではいきましょう。

微分結果忘れたら対数微分法で思い出そう

手っ取り早く対数微分法を用いるといい。
$y=a^x$ として, 両辺の対数をとると,
$\log y=x\log a$
両辺を $x$ で微分すると,
$\dfrac{y'}{y}=\log a$
よって,
$y'=y\log a=a^x\log a$
つまり,
$y'=a^x\log a$
となる。

積分結果は微分の結果を用いる

先の微分の結果を用いることで, $a^x$ の積分結果が分かります。
$y'=(a^x)'$ であることから,
微分の結果 $y'=a^x\log a$ の両辺を積分します。
$\displaystyle\int y' \,dx=\displaystyle\int a^x\log a\, dx\to\displaystyle\int (a^x)' \,dx=\log a\displaystyle\int a^x\, dx$
ここで左辺の $\displaystyle\int (a^x)'\, dx=a^x$ であることから,
$\log a\displaystyle\int a^x\, dx=a^x$
よって,
$\displaystyle\int a^x\, dx=\dfrac{a^x}{\log a}$
このようにして, 積分結果が得られます。

つい忘れてしまったときは, こうやって導きましょう。