高校数学：整数：二項定理と余りの問題(秋田大)

こんにちは。タイトル通りです。それではどうぞ。

秋田大学

【問題】次の値を求めよ。
(1) $(1+x)^{10}$ の展開式における $x^7$ の項の係数
(2) $16^{16}$ を225で割ったときの余り
【秋田大】

解答例

【解答例】
(1) 二項定理の問題ですね。
$_{10}\mathrm{C}_3(_{10}\mathrm{C}_7)=\dfrac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=120$
$120\cdots$ (答)
(2) (1)の二項定理を使っていきましょう。
$16^{16}=(1+15)^{16}$
として, 展開していくと,
$_{16}\mathrm{C}_01^{16}15^0+_{16}\mathrm{C}_11^{15}\cdot15^1+_{16}\mathrm{C}_21^{14}\cdot15^2+\cdots+_{16}\mathrm{C}_{16}1^0\cdot15^{16}\cdots\maru1$
ここで, $225=15^2$ であるから, $\maru1$ を $15^2$ でわったら,
$_{16}\mathrm{C}_01^{16}15^0+_{16}\mathrm{C}_11^{15}\cdot15^1$
の2項以外は $15^2$ を約数にもつので割り切れる。
したがって $16^{16}$ を225で割った余りは
$_{16}\mathrm{C}_01^{16}15^0+_{16}\mathrm{C}_11^{15}\cdot15^1$ の項を割った余りと等しく,
これを計算すると, 241なので, 求める余りは,
241を225で割った余りと等しい。
よって, $16\cdots$ (答)
【余談】
余りの問題をゴリゴリやっていくとこんな感じでしょうか？
$16^{16}=(16^2)^8=256^8$
ここで256を225で割った余りは, 31なので
$256^8\equiv31^8\, (\text{mod}225)$
$31^2=961$ で
961を225で割った余りは61なので
$31^8\equiv(31^2)^4\equiv61^4\, (\text{mod}225)$
$61^2=3721$
3721を225で割った余りは121なので
$61^4\equiv3721^2\equiv121^2\, (\text{mod}225)$
$121^2=14641$
14641を225で割った余りは16
よって, 16

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秋田大学

解答例

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