TikZ：受験算数：立体：面積比や体積比の問題(麗澤中第一回AE)

こんにちは。立体の問題です。早速取り組んでいきましょう。

2022麗澤中

【問題】三角錐 $\mathrm{O-ABC}$ があります。 $\text{OA}=\text{OB}=\text{OC}=5\text{cm}$ , $\text{AB}=\text{BC}=\text{CA}=6\text{cm}$ とし, $\text{OE}=2\text{cm}$ となる点Eを辺 $\text{OA}$ 上にとります。三角形OABの面積が $12\,\text{cm^2}$ のとき, 次の問いに答えなさい。

(1) 三角形OCEと三角形ACEの面積比を求めなさい。
$\text{OF}=\text{OG}=2\,\text{cm}$ となる点F, Gをそれぞれ辺OB, OC上にとります。
(2) 底面を三角形EFGとするとき, 三角錐 $\mathrm{O-EFG}$ の側面積を求めなさい。
(3) 四角錐 $\mathrm{E-BCGF}$ と三角錐 $O-ABC$ の体積の比を求めなさい。
【麗澤中第一回AE】

解答例

【解答例】
(1) $\text{OE} : \text{AE} = 2 : 3$ なので,
$\bigtriangleup\text{OCE} : \bigtriangleup\text{ACE}= 2 : 3\cdots$ (答)
(2)

$\bigtriangleup\text{OAB}$ ∽ $\bigtriangleup\text{OEF}$
相似比は $5 : 2$ なので, 面積比は $25 : 4$
$\bigtriangleup\text{OAB}$ の面積が $12\text{cm}^2$ なので, $\bigtriangleup\text{OEF}$ の面積は,
$12\times\dfrac{4}{25}=\dfrac{48}{25}$
よって求める側面積は,
$\dfrac{48}{25}\times3=\dfrac{144}{25}$
$\dfrac{144}{25}\text{cm}^2\cdots$ (答)
(3)

三角錐 $\mathrm{O-ABC}$ の体積を1とする。
三角錐 $\mathrm{O-ABC}$ と三角錐 $\mathrm{O-EFG}$ は相似な関係にあり, 辺の比は $5 : 2$ であるから, 体積比は $125 : 8$ である。よって, 三角錐 $\mathrm{O-EFG}$ の体積は $1\times\dfrac{8}{125}=\dfrac{8}{125}\cdots\maru1$
三角錐 $\mathrm{E-ABC}$ の体積は, 底面積は三角錐 $\mathrm{O-ABC}$ と同じで, 高さが $\dfrac35$ 倍になっているので, その体積は, $1\times\dfrac35=\dfrac35\cdots\maru2$
$\maru1, \maru2$ より, 四角錐 $\mathrm{E-BCGF}$ の体積は,
$1-\dfrac{8}{125}-\dfrac35=\dfrac{42}{125}$
よって, 四角錐 $\mathrm{E-BCGF}$ と三角錐 $O-ABC$ の体積の比は,
$\dfrac{42}{125} : 1 = 42 : 125$
$42 : 125\cdots$ (答)

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解答例

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