高校数学：確率：サイコロと三角形(東北大学)

こんにちは。比較的有名問題ですかね？それではやっていきましょう。

2016東北大

【問題】サイコロを3回振って出た目の数をそれぞれ順に $a,\, b,\, c$ とする。以下の問いに答えよ。
(1) $a, \, b, \, c$ がある直角三角形の3辺の長さとなる確率を求めよ。
(2) $a, \, b, \, c$ がある鈍角三角形の3辺の長さとなる確率を求めよ。
【東北大学】

解答例

【解答例】
(1) $a,\, b,\, c$ はともに1～6までの自然数であるから,
直角三角形になるのは3辺が3, 4, 5のとき, この組み合わせは
$3!=6$ (通り)あるので, 求める確率は,
$\dfrac{6}{6^3}=\dfrac{1}{36}$
$\dfrac{1}{36}\cdots$ (答)
(2) 鈍角三角形になる条件は, 最大辺を $a$ とすると,
$a<b+c$ , $b^2+c^2-a^2<0$ (余弦定理より)
であるから, これを満たす $a, \, b, \, c$ の組は
$(3, 2, 2), (5, 3, 3), (6, 4, 4)\cdots\maru1$
$(4, 3, 2), (5, 2, 4), (6, 2, 5), (6, 3, 4), (6, 3, 5)\cdots\maru2$
$\maru1$ はそれぞれ3通りあるので, 全部で $3\times3=9$ (通り)
$\maru2$ はそれぞれ $3!$ 通りあるので, 全部で $3!\times5=30$ (通り)
よって, 求める確率は,
$\dfrac{9+30}{6^3}=\dfrac{13}{72}$
$\dfrac{13}{72}\cdots$ (答)

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2016東北大

解答例

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