高校数学：数III積分：tan(x/2)=tとする置換積分について

こんにちは。たまに参考書とかに載っている, $\tan\dfrac{x}{2}=t$ として, $\sin x$ , $\cos x$ , $\dfrac{dx}{dt}$ を置換する方法を書いておきます。

置換を実行するために必要な基礎知識

まず準備する公式たちを紹介します。

準備する公式たち

$\maru1$ $\sin x=\tan x\cos x\to\sin\dfrac{x}{2}=\tan\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}$
$\maru2$ $\sin2x=2\sin x\cos x\to\sin x=2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}$
$\maru3$ $\cos^2x=\dfrac{1}{1+\tan^2x}\to\cos^2\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{1+\tan^2\frac{x}{2}}$
$\maru4$ $\cos2x=2\cos^2x-1\to\cos x=2\cos\dfrac{x}{2}-1$
$\maru5$ $\cos2x=1-2\sin^2x\to\cos x=1-2\sin^2\dfrac{x}{2}$

結論

結論として, $\tan\dfrac{x}{2}=t$ とおくと, $\sin x, \cos x, \dfrac{dx}{dt}$ などがどうなるか示しておきます。

tan(x/2)=tとすると

$\bullet$ $\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}$
$\bullet$ $\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$
$\bullet$ $dx=\dfrac{2}{1+t^2}dt$

以下, これらの詳細を書き, 最後にこれらを使って例題を解いてみましょう。

sin xを置換してみる

$\tan\dfrac{x}{2}=t$ とおいて, $\sin x$ を $t$ を用いて表せ。

$\begin{array}{lll}\sin x&=&2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}\\&=&2\tan\dfrac{x}{2}\cos^2\dfrac{x}{2}\\&=&2\tan\dfrac{x}{2}\cdot\dfrac{1}{1+\tan^2\frac{x}{2}}\\&=&2t\cdot\dfrac{1}{1+t^2}\\&=&\dfrac{2t}{1+t^2}\end{array}$
よって,
$\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}$

cos xを置換してみる

$\tan\dfrac{x}{2}=t$ とおいて, $\cos x$ を $t$ を用いて表せ。

$\begin{array}{lll}\cos x&=&2\cos^2\dfrac{x}{2}-1\\&=&2\cdot\dfrac{1}{1+\tan^2\frac{x}{2}}-1\\&=&\dfrac{2-(1+t^2)}{1+t^2}\\&=&\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\end{array}$
よって,
$\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$
【別解】
$\begin{array}{lll}\cos x&=&1-2\sin^2\dfrac{x}{2}\\&=&1-2\tan^2\dfrac{x}{2}\cos^2\dfrac{x}{2}\\&=&1-2\tan^2\dfrac{x}{2}\cdot\dfrac{1}{1+\tan^2\frac{x}{2}}\\&=&1-2t^2\cdot\dfrac{1}{1+t^2}\\&=&\dfrac{1+t^2-2t^2}{1+t^2}\\&=&\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\end{array}$
よって,
$\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$

tan xを置換してみる

$\tan\dfrac{x}{2}=t$ とおいて, $\tan x$ を $t$ を用いて表せ。

$\begin{array}{lll}\tan x&=&\tan 2\cdot\dfrac{x}{2}\\&=&\dfrac{2\tan\frac{x}{2}}{1-\tan^2\frac{x}{2}}\\&=&\dfrac{2t}{1-t^2}\end{array}$
【補足】 $\tan x=\dfrac{2t}{1-t^2}$ と $\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ から $\sin x$ を $t$ で表すことも可能である。

tan(x/2)=tを微分してみる

$\tan\dfrac{x}{2}=t$ から $dx=\dfrac{2}{1+t^2}dt$ を示せ。

$t=\tan\dfrac{x}{2}$ とし, $x$ で微分すると,
$\begin{array}{lll}\dfrac{dt}{dx}&=&\left(\tan\dfrac{x}{2}\right)'\\&=&\dfrac{1}{\cos^2\frac{x}{2}}\cdot\dfrac12\\&=&\dfrac{1}{2\cos^2\frac{x}{2}}\\&=&\dfrac12\left(1+\tan^2\dfrac{x}{2}\right)\\&=&\dfrac{1+t^2}{2}\end{array}$
よって,
$\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1+t^2}{2}\to\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{2}{1+t^2}$
したがって,
$dx=\dfrac{2}{1+t^2}dt$

実際に問題に使ってみる

【例】 $\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin x}\, dx$ を $\tan\dfrac{x}{2}=t$ として求めよ。

$\tan\dfrac{x}{2}=t$ とおくと, $\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}$ , $dx=\dfrac{2}{1+t^2}dt$ なので,
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin x}\,dx&=&\displaystyle\int\dfrac{1+t^2}{2t}\cdot\dfrac{2}{1+t^2}\,dt\\&=&\displaystyle\int\dfrac{1}{t}\,dt\\&=&\log|t|+C\\&=&\log\left|\tan\dfrac{x}{2}\right|+C\end{array}$
よって,
$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin x}\, dx=\log\left|\tan\dfrac{x}{2}\right|+C$ 　( $C$ は積分定数)

【例】 $\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin x+\cos x+1}\, dx$ を $\tan\dfrac{x}{2}=t$ として求めよ。

$\tan\dfrac{x}{2}=t$ とおくと, $\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}$ , $\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ , $dx=\dfrac{2}{1+t^2}dt$ なので,
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin x+\cos x+1}\, dx&=&\displaystyle\int\dfrac{1}{\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}+1}\cdot\dfrac{2}{1+t^2}\, dt\\&=&\displaystyle\int\dfrac{2}{2t+1-t^2+1+t^2}\, dt\\&=&\displaystyle\int\dfrac{1}{1+t}\, dt\\&=&\log\left|1+t\right|+C\\&=&\log\left|1+\tan\dfrac{x}{2}\right|+C\end{array}$
よって,
$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin x+\cos x+1}\, dx=\log\left|1+\tan\dfrac{x}{2}\right|+C$ 　( $C$ は積分定数)