TikZ：高校数学：極座標：直線や円の極方程式

2023年12月31日

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こんにちは。極座標で表す。直線や円の極方程式について書いておきます。

極Oを通り始線となす角がθの直線

極Oを通り始線となす角が $\alpha$ の直線の極方程式は,
$\theta=\alpha$
で表される。

$\theta$ は $\alpha$ で固定。 $r$ に関しては実数なら任意となるのでこの書き方になる。
極座標では $r<0$ の場合も考えます。 $r>0$ において, $(-r, \theta)$ という点は, $( r, \theta+\pi)$ である点として考える。つまり $( r, \theta)$ と $(-r, \theta)$ は, 互いが反対向きになっており, 原点対称になっていることを意味します。感覚的には $r$ をベクトルのように考えるといいでしょう。長さなのにマイナスって思うかもしれませんが, 向きを表すためについてると思ってください。長さとしては絶対値をとるので $\left| -r\right|=r$ です。

点A(a,α)を通り, OAに垂直な直線

点 $\text{A}(a, \alpha)$ を通り, $\text{OA}$ に垂直な直線の極方程式は,
$r\cos\left(\theta-\alpha\right)=a$
で表される。

直角三角形OAPで $r\cos\left(\theta-\alpha\right)=a$ が成り立つ。

中心Oである円の極方程式

極Oが中心の円の極方程式は,
$r=a$
で表される。

$r$ と $a$ が一致し, $\theta$ に関しては実数なら任意となるので, この書き方になる。

中心(a, 0)半径aの円の極方程式

点 $( a, 0 )$ が中心で半径 $a$ の円の極方程式は,
$r=2a\cos\theta$
で表される。

直角三角形OAPにおいて, $2a\cos\theta=r$ が成り立つ。

中心が(r_0,θ_0), 半径aの円の極方程式

点 $( r_0, \theta_0 )$ が中心で半径 $a$ の円の極方程式は,
$r^2+{r_0}^2-2rr_0\cos\left(\theta-\theta_0\right)=a^2$
で表される。

この式は, $\bigtriangleup{\text{OAP}}$ において, $\text{OP}=r$ , $\text{OA}=r_0$ , $\text{AP}=a$ , $\kaku{AOP}=\theta-\theta_0$ として, 余弦定理を用いることで得られる。

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