TikZ：高校数学：数III積分：減衰曲線の面積とその和(東京女子大)

こんにちは。早速いってみましょう。

東京女子大

曲線 $y=e^{-x}\sin x$ と $x$ 軸との交点を原点Oから正の方向に順に $\text{P}_0=\text{O}$ , $\text{P}_1$ , $\text{P}_2$ , $\cdots$ とする。
(1) この曲線と線分 $\text{P}_n\text{P}_{n+1}$ とで囲まれた部分の面積 $S_n$ を求めよ。
(2) $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}S_n$ を求めよ。
【東京女子大】

解答・解説

【解答・解説】

求める面積は $n\pi$ と $(n+1)\pi$ で囲まれた面積です。
したがって, $S_n$ は次のようになります。
$\begin{array}{lll}S_n&=&\left|\displaystyle\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} e^{-x}\sin x\, dx\right|\\&=&\displaystyle\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} e^{-x}\left|\sin x\right|\, dx\end{array}$
$x-n\pi=t$ とすると,
$\begin{array}{c|ccc} x &n\pi&\to&(n+1)\pi\\ \hline t &0&\to&\pi\end{array}$
また, $x=n\pi+t$ より, $dx=dt$
$\begin{array}{lll}S_n&=&\displaystyle\int_0^{\pi} e^{-n\pi-t}\left|\sin(n\pi+t)\right|\,dt\\&=&e^{-n\pi}\displaystyle\int_0^{\pi}e^{-t}\left|(-1)^n\sin t\right|\,dt\\&=&e^{-n\pi}\displaystyle\int_0^{\pi}e^{-t}\sin t\,dt\end{array}$
$\sin x$ の絶対値が取れるのは, 積分区間が $0\leqq t\leqq\pi$ において, $\sin t\geqq0$ だから。
これは $S_n$ が公比 $e^{-\pi}$ の等比数列を表すことを意味する。
ここで, $S_n$ の初項 $S_0$ を求めると,
$S_0&=&\displaystyle\int_0^{\pi}e^{-t}\sin t\,dt$ であるから,
$\begin{array}{lll}S_0&=&\displaystyle\int\left(-e^{-t}\right)'\sin t\, dt\\&=&\left[-e^{-t}\sin t\right]_0^{\pi}+\displaystyle\int_0^{\pi} e^{-t}\cos t\, dt\\&=&\displaystyle\int_0^{\pi} e^{-t}\cos t\, dt\\&=&\left[-e^{-t}\cos t\right]_0^{\pi}-\displaystyle\int_0^{\pi}e^{-t}\sin t\, dt\\&=&e^{-\pi}+1-S_0\end{array}$
これより, $S_0=\dfrac{e^{-\pi}+1}{2}$
$S_n=S_0e^{-n\pi}$ であるから,
$S_n=\dfrac{e^{-\pi}+1}{2}e^{-n\pi}\cdots$ (答)
(2)
$0<e^{-\pi}<1$ より, $S_n$ は収束する。
よって,
$\begin{array}{lll}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}S_n&=&\dfrac{e^{-\pi}+1}{2}\cdot\dfrac{1}{1-e^{-\pi}}\\&=&\dfrac{1+e^{\pi}}{2(e^{\pi}-1)}\end{array}$
$\dfrac{1+e^{\pi}}{2(e^{\pi}-1)}\cdots$ (答)
このように減衰曲線では, 面積は等比数列になり, その無限級数和は収束します。

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解答・解説

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