高校数学：常用対数：小数第何位に初めて0でない数が現れてその数は何か

こんにちは。最高位の数を求めるのと同様に, 小数第何位に初めて0でない数字が現れて, その数は何かという問題を考えてみましょう。

例題

【例題】 $\left(\dfrac{3}{10}\right)^{100}$ を計算したとき初めて０でない数字が現れるのは小数第何位でその数字はなにか。 $\log_{10}2=0.3010$ , $\log_{10}3=0.4771$ として答えよ。

解答・解説

【解答例】
$10^{-N}<\left(\dfrac{3}{10}\right)^{100}<10^{-N+1}$ として, 辺々の常用対数をとると,
$-N<100\log_{10}\dfrac{3}{10}<-N+1$
$-N<100\left(\log_{10}3-\log_{10}10\right)<-N+1$
$-N<100\left(0.4771-1\right)<-N+1$
$-N<-52.29<-N+1$
より, $N=53$
よって, 小数第53位に初めて0でない数字が現れる。
このとき,
$-52.29=-53+0.71$ とすると,
$\log_{10}5=\log_{10}10-\log_{1}2=1-0.3010=0.6990$
$\log_{10}6=\log_{10}2+\log_{10}3=0.3010+0.4771=0.7781$
であるから,
$0.6990\left(\log_{10}5\right)<0.71<0.7781\left(\log_{10}6\right)$
辺々に $\log_{10}10^{-53}$ を加えると,
$\log_{10}5\cdot10^{-53}<-52.29<\log_{10}6\cdot10^{-53}$
となり, これは,
$5\cdot10^{-53}<\left(\dfrac{3}{10}\right)^{100}<6\cdot10^{-53}$
となる。よって, 小数第53位の数は5である。
以上より, 小数第53位に初めて0でない数字が現れ, その数は5である。 $\cdots$ (答)

例題

解答・解説

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