高校数学：確率：条件付き確率(琉球大)

こんにちは。こちら琉球大学の問題です。早速いってみましょう。

琉球大学

【問題】3つの箱A, B, Cの中に赤玉と白玉がそれぞれ $1 : 5$ , $1 : 4$ , $1 : 3$ の割合で入っている。太郎はAから, 次郎はBから, 三郎はCからそれぞれ玉を1個取り出す。赤玉を取り出した人は商品がもらえる。次の問いに答えよ。
(1) 太郎だけが商品をもらえる確率を求めよ。
(2) 1人だけ商品がもらえると知ったとき, その人が太郎である確率を求めよ。
(3) 2人だけ商品がもらえると知ったとき, その中に太郎が含まれる確率を求めよ。
【琉球大】

解答・解説

【解答例】
A, B, Cから赤玉を取り出す確率を求める。 $k, \ell, m$ を自然数とすると,
A： $\dfrac{k}{6k}=\dfrac16$ , B： $\dfrac{\ell}{5\ell}=\dfrac15$ , C： $\dfrac{m}{4m}=\dfrac14$
(1) 太郎だけ商品をもらえる確率は,
太郎だけ赤玉を引けばいいので,
$\dfrac16\times\dfrac45\times\dfrac34=\dfrac{1}{10}$
$\dfrac{1}{10}\cdots$ (答)
(2)
太郎だけ商品をもらえる確率は, (1)より,
$\dfrac{1}{10}\cdots\maru1$
次郎だけ商品をもらえる確率は, 次郎だけが赤玉を引けばいいので,
$\dfrac56\times\dfrac15\times\dfrac34=\dfrac18\cdots\maru2$
三郎だけ商品をもらえる確率は, 同様に,
$\dfrac56\times\dfrac45\times\dfrac14=\dfrac16\cdots\maru3$
求めるか確率は,
(太郎だけ商品をもらう確率 $\maru1$ ) $\div$ (1人だけ商品がもらえる確率 $\maru1+\maru2+\maru3$ )
よって, 求める確率は,
$\dfrac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{10}+\frac18+\frac16}=\dfrac{12}{47}$
$\dfrac{12}{47}\cdots$ (答)
(3)
2人だけ商品をもらう確率は, 2人だけ赤玉を引けばいいので, 組み合わせとしては,
(赤玉を引く) $=$ (太郎, 次郎), (太郎, 三郎), (次郎, 三郎)
の3つの場合のみ。
太郎と次郎が赤玉を引く確率は,
$\dfrac16\times\dfrac15\times\dfrac34=\dfrac{3}{120}\cdots\maru1$
太郎と三郎が赤玉を引く確率は,
$\dfrac16\times\dfrac45\times\dfrac14=\dfrac{4}{120}\cdots\maru2$
次郎と三郎が赤玉を引く確率は,
$\dfrac56\times\dfrac15\times\dfrac14=\dfrac{5}{120}\cdots\maru3$
求める確率は,
(太郎が含まれる確率 $\maru1+\maru2$ ) $\div$ (2人だけ商品をもらえる確率 $\maru1+\maru2+\maru3$ )
よって, 求める確率は,
$\dfrac{\frac{3}{120}+\frac{4}{120}}{\frac{3}{120}+\frac{4}{120}+\frac{5}{120}}=\dfrac{7}{12}$
$\dfrac{7}{12}\cdots$ (答)

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解答・解説

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