高校数学：数列：logをとる漸化式(札幌医科大)

こんにちは。やっておきましょう。ケアレスミスに注意です。

札幌医科大学

【問題】数列 $\{a_n\}$ は
$a_1=a > 0$ , $a_{n+1}=16{a_n}^3\, (n=1, 2, 3, \cdots)$
をみたすものとする。
( i ) 数列 $\{b_n\}$ を $b_n=\log_2a_n$ とするとき, $\{b_n\}$ の一般項を $a$ と $n$ を用いて表せ。
( ii ) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を $a$ と $n$ を用いて表せ。
( iii ) すべての $n$ について $a_n=a$ をみたすような $a$ の値を求めよ。
【札幌医科大】

解答・解説

【解答解説】
( i )　与式の両辺の対数をとると,
$\begin{array}{rll}\log_2a_{n+1}&=&\log_216{a_n}^3\\&=&\log_2{a_n}^3+\log_216\\&=&3\log_2a_n+4\\b_{n+1}&=&3b_n+4\end{array}$
$b_{n+1}=3b_n+4$ が, $b_{n+1}+\alpha=3(b_n+\alpha)$ と変形できたとすると, $\alpha=2$ なので,
$b_{n+1}+2=3(b_n+2)$ と変形できる。
よって, 数列 $\{b_n+2\}$ は初項 $b_1+2=\log_2a+2$ , 公比3の等比数列である。
したがって,
$b_n+2=\left(\log_2a+2\right)\cdot3^{n-1}$
ゆえに,
$b_n=\left(\log_2a+2\right)\cdot3^{n-1}-2\cdots$ (答)
( ii )
( i )より,
$\begin{array}{lll}\log_2a_n&=&\left(\log_2a+2\right)\cdot3^{n-1}-2\\&=&3^{n-1}\log_24a-\log_24\\&=&\log_2\dfrac{(4a)^{3^{n-1}}}{4}\end{array}$
よって,
$a_n=\dfrac{(4a)^{3^{n-1}}}{4}\cdots$ (答)
( iii )
すべての $n$ において $a_n=a$ となるということは,
$n$ の値によって, $a_n$ が変化しないことであるので,
$a_n=\dfrac{(4a)^{3^{n-1}}}{4}$ の分子 $(4a)^{3n-1}$ の $4a$ が0か1であることが条件になる。
ただし, $a>0$ なので, $a=0$ とはならない。
したがって, $4a=1$ , $a=\dfrac14\cdots$ (答)