中学数学：研究：0.999・・・＝1の証明

2024年3月2日

こんにちは。数学の世界の面白さを体感しよう。それではどうぞ。

0.999・・・＝1の証明

数学では $0.999999999\cdots<1$ ではなくて, $0.999999999\cdots=1$ であることを証明しましょう。
【証明】 $x=0.999999999\cdots$ とします。
この両辺10倍して, $10x=9.999999999\cdots$ となります。
この $10x$ と $x$ を筆算すると,
$\begin{array}{rrcl}&10x&=&9.999999999\cdots\\-)& x&=&0.999999999\cdots\\ \hline& 9x&=&9\end{array}$
よって $x=1$ 。もともと $x=0.999999999\cdots$ だったわけですので,
$0.999999999\cdots=1$
ということがいえます。このように,
小数点以下9が無限に続く場合は, ほぼ1とみなされ, それはほぼ1ではなく1なのですね。
数学って面白いですね。

循環小数を分数に直す

ちなみに, 循環小数を分数に直すときも同じような方法で行いますので, 上の解き方を知っておくと便利でしょう。

例　 $0.37373737\cdots$ を分数で表しなさい。
$\begin{array}{rrcr}&100x&=&37.37373737\cdots\\-)& x&=&0.37373737\cdots\\ \hline& 99x&=&37\end{array}$
$x=\dfrac{37}{99}\cdots$ (答)

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循環小数を分数に直す

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