中学数学：攻略法：連比(比合わせ)を使いこなせ

こんにちは。今回は連比(比合わせ)についてです。それではどうぞ。

長さが同じなのに比の合計が違う

相似をやっていて, こういう類の問題に出くわすことがあります。
例えば次の問題

下の平行四辺形ABCDで, 辺AB, BC, CDの中点をそれぞれ, E, F, Gとし, 対角線BDとEF, AGとの交点をそれぞれP, Qとする。このとき, 次の問いに答えなさい。

(1) 線分PQは線分BDの何倍か求めなさい。
(2) $\sankaku{ADQ}$ の面積は平行四辺形ABCDの面積の何倍か求めなさい。

この問題では $\text{BP : PD}=\maru1 : \maru3$ , $\text{BQ : QD}=$ となっており, $\text{BP+PD=BD}$ , $\text{BQ+QD=BD}$ で両者とも同じ線分を分けているが, 比の合計 $\maru1+\maru3=\maru4$ とと $\maru4$ とと合計は異なる。これでは比べようがないので, $\maru4$ との最小公倍数でそろえることにする。
すると, $\maru{\ }$ は3倍, は4倍することになるので, 下の線分のようになる。

これで, $\text{BP : PQ : QD}= 3 : 5 : 4$ とわかる。
問題の(1)はPQ $=\dfrac{5}{3+5+4}=\dfrac{5}{12}$ (倍)
(2)は平行四辺形の全体の面積を $S$ とすると, $\sankaku{ADQ}=S\times\dfrac12\times\dfrac{4}{12}=\dfrac16S$
よって $\dfrac16$ 倍とわかる。

分数で処理する方法

前途したテクニックは, あくまで比を使って解いた場合で, 分数が好きなら分数を使って簡単に処理できる。それを紹介しておく。こちらの方がスマートなときもある。

$\text{PB}=\dfrac14\text{BD}$ , $\text{BQ}=\dfrac23\text{BD}$ より,
$\text{PQ}=\text{BQ}-\text{PB}=\dfrac23\text{BD}-\dfrac14\text{BD}=\dfrac{5}{12}\text{BD}$
として(1)の解を得ることが可能。したがって分数表示で, $\text{BP : PQ : QD}$ を表すと
$\text{BP : PQ : QD}= \dfrac14 : \dfrac{5}{12} : \dfrac{1}{3}$
となり, これを整数比で表すと, 上と同じ $\text{BP : PQ : QD}= 3 : 5 : 4$ を得る。

このように連比(比合わせ)のテクニックは, ちょっとした応用問題を解くカギになるので, 少なくともどちらか一方のテクニックは習得しておきたいですね。