中学数学：攻略法：y=ax²の変化の割合

こんにちは。 $y=ax^2$ の変化の割合についてです。それではどうぞ。

y=ax²の変化の割合

【EX】関数 $y=2x^2$ のグラフにおいて, $x$ の値が $-1$ から2まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

この問題は, 中学2年生で学んだ変化の割合の考え方と全く同じである。
それは次の $\maru1$ の式である。
$\cdots\maru1$
ここでは, $x=-1$ のとき $y=2$ , $x=2$ のとき $y=8$ であるから,
変化の割合 $=\dfrac{8-2}{2-(-1)}=2\cdots$ (答)
と求めることが可能。これで, ずっと押し通してもよい。
ただ, 関数 $y=ax^2$ においては, $x$ の値が $p$ から $q$ まで変化するときの変化の割合は
変化の割合 $=a(p+q)$
という公式で得られる。公式を使うと
変化の割合 $=2\times(-1+2)=2\cdots$ (答)
となる。
また, 次のような問題にもこの公式は威力を発揮する。

【EX】関数 $y=ax^2$ において, $x$ の値が2から3まで増加するときの変化の割合と, 一次関数 $y=2x+5$ の変化の割合が等しいとき, $a$ の値を求めなさい。

この問題で, 公式を用いると $y=ax^2$ の変化の割合は
$a\times(2+3)=5a$
これが, 一次関数の変化の割合である2と等しいので,
$5a=2$
となり, $a=\dfrac25\cdots$ (答)が得られる。
もちろん, $\maru1$ の式を用いても解ける。この内容は, 関数 $y=ax^2$ のところでよく聞かれる問題なので, 公式の理解をきちんとして, 問題に解きなれておく必要がある。この公式は必ずしも覚えておく必要はないが, 知っておくと問題が素早く解くことができ, 何かと便利である。
公式の証明を知りたい方は, 研究テーマにある変化の割合をご覧いただきたい。

余談：変化の割合とは直線の傾き

最初の問題でグラフの2点A, Bを直線で結ぶと1次関数の式ができると思う。その直線の式の傾きがまさに, 変化の割合の2である。この事実は知っておいて使いこなせれば非常に便利だが, この知識も知らなくても解ける問題がほとんどなので, 余力のある人は覚えておくといいでしょう。これが派生すると, $y=ax^2$ 上の2点を通る直線の式の公式が得られる。もちろんこれも知らなくてもいいレベルではありますが。

ではでは。