Short Time DFT(短時間フーリエ変換)の完全系の証明

こんにちは。Short Time DFT(短時間フーリエ変換)についてです。

Short Time DFTの完全系の証明

以下間違ってたらごめんなさいm(＿)m。
Short time DFTは,瞬時スペクトラムの概念を導入することにより,
周波数分解能, 時間分解能をともに独立設定でき, 時間分解能を極限(サンプリング時刻)まで高めることができる。
時刻 $n$ の瞬時ペクトラム $\Phi(n)$ は次のように与えられる。
$\Phi(n)=\{\phi_0(n), \phi_1(n), \phi_2(n), \cdots \phi_{N-1}(n)\}$
ここで $\phi_k(n)$ は瞬時スペクトラム $\Phi(n)$ を構成するインデックス $k$ の成分であり, Short time DFTによって次のように定義される。
$\phi_k(n)=\displaystyle\sum_{r=-\infty}^{\infty} x(r)h(n-r)W_N^{-rk}\cdots\maru1$
但し, $x(r)$ は入力信号, $h()$ はWindow関数, $W_N^{-rk}=exp(-j2\pi rk/N)$ で与えられる回転演算子である。次に, スペクトラム $\Phi(n)$ から $N$ 個の出力信号を合成するShort time IDFTを次のように定義する。
$y(n)=\displaystyle\dfrac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \phi_k(n) W_N^{nk}\cdots\maru2$
但し, $y(n)$ はスペクトラム $\Phi(n)$ から合成される時刻 $n$ の出力信号, $W_N^{nk}=exp(j2\pi nk/N)$ で与えられる回転演算子である。ここで, スペクトラム $\Phi(n)$ から合成される出力信号 $y(n)$ が, 瞬時スペクトラムのサンプリング時刻 $n$ の入力信号 $x(n)$ と一致することを証明する。
$\maru1$ を $\maru2$ に代入すると
$\begin{array}{lll}y(n)&=&\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum_{k=0}^{N-1} \left\{\displaystyle\sum_{r=-\infty}^{\infty} x(r)h(n-r)W_N^{-rk}\right\} W_N^{nk}\\ &=&\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum_{k=0}^{N-1}W_N^{(n-r)k}\left\{\displaystyle\sum_{r=-\infty}^{\infty} x(r)h(n-r)\right\} \end{array}$
実際処理を行うときは上の $r$ は有限長であるので, $r,k$ の積和の順序は入れ替え可能である。
ここで,
$\dfrac{1}{N}\displaystyle \sum_{k=0}^{N-1} W_N^{(n-r)k}=\begin{cases} 1\ \ (n-r=qN : q\ \text{is}\ \text{integer})\\ 0\ \ else \end{emcases}$
したがって, 出力 $y(n)$ は $n-r=qN$ のときのみ値をもち, このとき $y(n)$ は次のように与えられる。
$\begin{aligned} y(n)&=\sum_{r=-\infty}^{\infty} x(n-qN)h(qN)\\&=x(n-qN)h(qN) \end{aligned}$
ここで, Window関数 $h()$ に次の制約を設ける
$h(p)=\begin{cases}1\ \ p=0\\0\ \ p=uN ,\ u\ \text{is}\ \text{non}\ 0\ \text{integer}\end{cases}$
このとき, 出力信号 $y(n)$ が, 時刻 $n$ の入力信号 $x(n)$ と一致することがわかる。このように, 時刻 $n$ の瞬時スペクトラムからShort time IDFTを用いて合成される出力信号が, サンプリング時刻 $n$ のみであることが知れる。これはDFTとは異なる点である。
しかし, Short time DFTの完全系を満たすWindow関数は, 時刻 $n$ において1であり, Windowの中心 $(n)$ から時間 $uN$ ( $u$ は0でない整数)において0を有すれば十分である( $uN～(u+1)N$ は未定義)。従って完全系を示すためのWindow関数は, 多数存在する。線型シフト不変のシステムの概念を加味すれば, Short time DFTは入力信号 $x(n)W_N^{-nk}$ とインパルス $h(n)$ との畳み込み演算で与えられる。したがって, Short time DFTによって得られる瞬時スペクトラムは, インパルス応答 $H(k)$ によって完全に記述される。つまり, Short time DFTはAM変調波とWindow関数の線型フィルタリングで与えられる。このことからもWindow関数の周波数応答の特性いかんでは,
周波数解析, 周波数振幅解析, 位相解析に大きな影響を与えかねない。Short time DFTのWindow関数は大変重要であり, 上のWindow関数を満たす条件は完全系を示すだけのものでしかない。
以下にShort time DFTのWindow関数の1つである, ナイキスト関数を書いてみた。
$h(p)=\bunsuu{\sin(\pi p/N)}{\pi p/N}$