TikZ：高校数学：極限：無限等比級数と図形(神奈川大)

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問題

$\text{OA}_1=1$ , $\text{A}_1\text{A}_2=\dfrac23$ , $\text{A}_2\text{A}_3=\left(\dfrac23\right)^2$ , $\text{A}_3\text{A}_4=\left(\dfrac23\right)^3, \cdots$ と無限に続けていくと, 折れ線の端はどんな点に近づいていくか。その点の座標を求めよ。

【神奈川大】

解答・解説

【解答】 $\left(\dfrac{9}{13}, \dfrac{6}{13}\right)$
【解説】
$x$ 座標は, $1-\left(\dfrac23\right)^2+\left(\dfrac23\right)^4-\left(\dfrac23\right)^6+\cdots$
これは, $1+\left(-\dfrac49\right)+\left(-\dfrac49\right)^2+\left(-\dfrac49\right)^3+\cdots$
と書けるので, 和を無視した一般項は, 初項1, 公比 $-\dfrac49$ の等比数列。つまり, $\left(-\dfrac49\right)^{n-1}$ となる。
したがって, その無限級数和は, $\dfrac{1}{1-\left(-\frac49\right)}=\dfrac{9}{13}$
$y$ 座標は, $\dfrac23-\left(\dfrac23\right)^3+\left(\dfrac23\right)^5-\left(\dfrac23\right)^7+\cdots$
これは, $\dfrac23+\dfrac23\left(-\dfrac49\right)+\dfrac23\left(-\dfrac49\right)^2+\dfrac23\left(-\dfrac49\right)^3+\cdots$
と書けるので, 和を無視した一般項は, 初項 $\dfrac23$ , 公比 $-\dfrac49$ の等比数列。つまり, $\dfrac23\left(-\dfrac49\right)^{n-1}$ となる。
したがって, その無限級数和は, $\dfrac{\frac23}{1-\left(-\frac49\right)}=\dfrac{6}{13}$
以上より, 求める座標は, $\left(\dfrac{9}{13}, \dfrac{6}{13}\right)$ である。

問題

解答・解説

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