TikZ：高校数学：極限：無限等比級数と図形(日本女子大)

2024年5月4日2026年5月22日

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問題

直角二等辺三角形の頂点AからBCに垂線 $\text{AA}_1$ を下ろす。 $\text{A}_1$ からABに垂線 $\text{A}_1\text{A}_2$ を下ろし, 以下図のように続けていくとき, $\text{AA}_1+\text{A}_1\text{A}_2+\text{A}_2\text{A}_3+\cdots$ を求めよ。ただし, $\text{AC}=10$ とする。

【日本女子大】

解答・解説

【解答】 $10\sqrt2+10$
【解説】
$\text{AA}_1=5\sqrt2$ , $\text{A}_1\text{A}_2=5$ , $\text{A}_2\text{A}_3=\dfrac{5}{\sqrt2}$ , $\cdots$
漸化式をつくると,
$\text{A}_{n+1}\text{A}_n=\dfrac{1}{\sqrt2}\text{A}_n\text{A}_{n-1}$ , ただし, $\text{A}_0=\text{A}$ とする。
よって, 一般項は, 初項 $5\sqrt2$ , 公比 $\dfrac{1}{\sqrt2}$ の等比数列。
つまり, $5\sqrt2\left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^{n-1}$
したがって, この無限級数和は,
$\dfrac{5\sqrt2}{1-\frac{1}{\sqrt2}}=\dfrac{10}{\sqrt2-1}=10(\sqrt2+1)$