高校数学：定期テスト対策：推定(信頼区間の幅)

2025年3月28日

こんにちは。定期テスト対策です。

問題

お相撲さんのまげの長さの標準偏差は $\text{7.5\, mm}$ であるという。お相撲さんのまげの長さの平均を信頼区間 $95\%$ で推定するとき, 信頼区間の幅を $\text{1.0\,mm}$ 以内にするには, 何人以上のお相撲さんを無作為抽出しなければならないか。

解答・解説

【解答】865人以上

【解説】
標本の大きさを $n$ , 標本平均を $\overline{X}$ とする。
母標準偏差 $\sigma=7.5$ であるから, 母平均 $m$ に対する信頼度 $95\%$ の信頼区間は,
$\overline{X}-1.96\cdot\dfrac{7.5}{\sqrt{n}}\leqq m\leqq \overline{X}+1.96\cdot\dfrac{7.5}{\sqrt{n}}$
となる。よって, 信頼区間の幅は,
$2\cdot1.96\cdot\dfrac{7.5}{\sqrt{n}}$
これが $1.0\text{mm}$ 以内なので,
$2\cdot1.96\cdot\dfrac{7.5}{\sqrt{n}}\leqq1.0$
$\sqrt{n}\geqq29.4$
$n\geqq864.36$
よって誤差を $0.5\text{mm}$ 以内で推定するには, 865人以上抽出しなくてはならない。

※結局聞いていることは, 誤差 $\text{0.5\, mm}$ 以内で推定するときの抽出人数を求めることである。

問題

解答・解説

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