高校数学：定期テスト対策：正規分布の基本問題

2025年3月25日

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こんにちは。定期テスト対策です。

問題

母平均120, 母標準偏差30をもつ母集団から, 大きさ100の無作為標本を抽出するとき, 次の $\maru1$ ～ $\maru3$ に当てはまる数を求めよ。
その標本平均 $\overline{X}$ の平均 $E(\overline{X})=\maru1$ , 標準偏差 $\sigma(\overline{X})=\maru2$
よって, $\overline{X}$ が118.5以上123以下の値をとる確率は $\maru3$ である。

解答・解説

【解答】
➀　120
➁　3
➂　0.5328
【解説】
$\overline{X}$ は近似的に正規分布, $N\left(120, \dfrac{30^2}{100}\right)$ , すなわち, $N(120, 3^2)$ にしたがう。
よって, $Z=\dfrac{\overline{X}-120}{3}$ は近似的に標準正規分布 $N(0, 1)$ にしたがう。
したがって,
$\begin{array}{lll}P(118.5\leqq \overline{X}\leqq 123)&=&P(-0.5\leqq Z\leqq 1)\\&=&p(0.5)+p(1)\\&=&0.1915+0.3413\\&=&0.5328\end{array}$

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