高校数学：数III微分・高次導関数について

こんにちは。今回は高次導関数について書いておきます。

高次導関数とは

関数 $y=f(x)$ の導関数 $f'(x)$ が微分可能であるとき, $f'(x)$ を微分して得られる2回微分した関数を $y=f(x)$ の第2次導関数という。
一般に, この第2次導関数は,
$y''\,$ , $\,f''(x)\,$ , $\,\dfrac{d^2y}{dx^2}\,$ , $\,\dfrac{d^2}{dx^2}f(x)$
などと表す。
以下同様に, $f''(x)$ が微分可能なら, これを微分した3回微分の関数を第3次導関数といい, $\,y'''\,$ , $\,f'''(x)\,$ , $\,\dfrac{d^3y}{dx^3}\,$ , $\,\dfrac{d^3}{dx^3}f(x)\,$ などと表す。ただ, 実際のところは3次導関数程度までなら, $\,y'''\,$ , $\,f'''(x)\,$ とすることが多いかもしれない。
一般に, 関数 $y=f(x)$ を $n$ 回微分して得られる関数を $f(x)$ の第 $n$ 次導関数という。
その表し方は上に習って,
$y^{(n)}\,$ , $\,f^{(n)}(x)\,$ , $\,\dfrac{d^n x}{dx^n}\,$ , $\,\dfrac{d^n}{dx^n}f(x)$
などと表す。
このように, 第2次導関数以上の導関数をまとめて, 高次導関数という。

問題を見てみよう

【例】関数 $y=xe^x$ の第 $n$ 次導関数を求めよ。

【方針】第 $n$ 次導関数を予測して, 数学的帰納法で証明する。
【解答例】
$y'=e^x+xe^x=(x+1)e^x\cdots\maru1$
$y''=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x$
$y'''=e^x+(x+2)e^x=(x+3)e^x$
これより, 第 $n$ 次導関数は,
$y^{(n)}=(x+n)e^x$ と予測できる。
これを数学的帰納法により証明する。
$(1)$ $n=1$ のとき,
$y'=(x+1)e^x$ となり, $\maru1$ より成り立つ。
$(2)$ $n=k$ のとき,
$y^{(k)}=(x+k)e^x$ が成り立つと仮定すると,
$\begin{array}{lll}y^{(k+1)}&=&\left\{y^{(k)}\right\}'\\&=&\left\{(x+k)e^x\right\}'\\&=&e^x+(x+k)e^x\\&=&\left\{x+(k+1)\right\}e^x\end{array}$
よって, $n=k+1$ のときも成り立つ。
以上から, すべての自然数 $n$ に対して,
$y^{(n)}=(x+n)e^x$
がいえる。