高校数学:数III微分・高次導関数について

こんにちは。今回は高次導関数について書いておきます。

高次導関数とは

関数y=f(x)の導関数f'(x)が微分可能であるとき, f'(x)を微分して得られる2回微分した関数をy=f(x)の第2次導関数という。
一般に, この第2次導関数は,
y''\,, \,f''(x)\,, \,\dfrac{d^2y}{dx^2}\,, \,\dfrac{d^2}{dx^2}f(x)
などと表す。
以下同様に, f''(x)が微分可能なら, これを微分した3回微分の関数を第3次導関数といい, \,y'''\,, \,f'''(x)\,, \,\dfrac{d^3y}{dx^3}\,, \,\dfrac{d^3}{dx^3}f(x)\,などと表す。ただ, 実際のところは3次導関数程度までなら, \,y'''\,, \,f'''(x)\,とすることが多いかもしれない。
一般に, 関数y=f(x)n回微分して得られる関数をf(x)の第n次導関数という。
その表し方は上に習って,
y^{(n)}\,, \,f^{(n)}(x)\,, \,\dfrac{d^n x}{dx^n}\,, \,\dfrac{d^n}{dx^n}f(x)
などと表す。
このように, 第2次導関数以上の導関数をまとめて, 高次導関数という。

問題を見てみよう

【例】関数y=xe^xの第n次導関数を求めよ。

【方針】第n次導関数を予測して, 数学的帰納法で証明する。
【解答例】
y'=e^x+xe^x=(x+1)e^x\cdots\maru1
y''=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x
y'''=e^x+(x+2)e^x=(x+3)e^x
これより, 第n次導関数は,
y^{(n)}=(x+n)e^xと予測できる。
これを数学的帰納法により証明する。
(1) n=1のとき,
y'=(x+1)e^xとなり, \maru1より成り立つ。
(2) n=kのとき,
y^{(k)}=(x+k)e^xが成り立つと仮定すると,
\begin{array}{lll}y^{(k+1)}&=&\left\{y^{(k)}\right\}'\\&=&\left\{(x+k)e^x\right\}'\\&=&e^x+(x+k)e^x\\&=&\left\{x+(k+1)\right\}e^x\end{array}
よって, n=k+1のときも成り立つ。
以上から, すべての自然数nに対して,
y^{(n)}=(x+n)e^x
がいえる。

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