TikZ:高校数学:積分・定積分と面積(なぜ積分で面積が求まるのか)

こんにちは。今回はなぜ積分で面積が求まるのか書いておきます。

なぜ積分で面積が求まるのか

関数y=f(x)のグラフが以下のように, (f(x)>0)となっているとき, a,\, tを定数として, 曲線y=f(x), x軸, 2直線x=a, x=t\, (a<t)で囲まれる図形の面積Sを考える。
tを変数と考えると, Stの関数となる。その関数をS(t)とおく。

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そして, tをほんのわずか\Delta tだけ増加させると, S=S(t+\Delta t)となり, Sの増加量\Delta Sは,
\Delta S=S(t+\Delta t)-S(t)
となる。\Delta tを限りなく小さくしていけば, \Delta Sは縦f(t), 横\Delta tの長方形と近似することができる。このとき, \Delta S\Delta tで割り, \Delta t\to0とすると,それはf(t)に近づいていく。
よって,
\displaystyle\lim_{\Delta t\to0}\dfrac{\Delta S}{\Delta t}=\underline{\displaystyle\lim_{\Delta t\to0}\dfrac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}}=f(t)
となり, 下線部は微分の定義より, S'(t)であるから,
S'(t)=f(t)\cdots\maru1が得られる。

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\maru1の両辺を積分すると,
S(t)=F(t)+C\cdots\maru2 (Cは積分定数)
このとき, t=aとすると, 面積は\mathrm{0}なので,
F(a)+C=0
となり, C=-F(a)が得られ, \maru2は,
S(t)=F(t)-F(a)
となる。一般に求める面積はt=bなので,
S(b)=F(b)-F(a)
つまりこれは, 曲線y=f(x)の区間a\leqq x\leqq bの面積Sを表し,
S=\displaystyle\int^b_a f(x)\,dx
で与えられることが分かる。

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