TikZ:高校数学:数III積分・x軸, y軸についての回転体の体積

こんにちは。今回はグラフを回転させてできる回転体の体積について書いておきます。

x軸について回転

以下の図(f(x)>0)で, a<bとする。曲線y=f(x), x軸, および2直線x=a, x=bで囲まれた図形をx軸の回りに1回転してできる立体の体積をVとする。
いま, 区間a\leqq x\leqq bで, x軸上の点xを通り, x軸に垂直な平面でこの回転体を切ったとき, 断面の円の半径はちょうどf(x)になる。したがって, この位置における断面積S(x)は,
S(x)=\pi\left\{f(x)\right\}^2
となる。ゆえに, x軸について1回転させた立体の体積V
V=\displaystyle\int^b_a S(x)\,dx=\pi\displaystyle\int^b_a\left\{f(x)\right\}^2\,dx=\pi\displaystyle\int^b_a y^2\,dx (a<b)

Rendered by QuickLaTeX.com

x軸について回転

曲線y=f(x), x軸, および2直線x=a, x=bで囲まれた図形をx軸について1回転させた立体の体積V
V=\pi\displaystyle\int^b_a y^2\,dx (a<b)
で与えられる。

y軸について回転

y軸について回転させる場合は, 上のx軸について回転させた場合のxyを入れ換えたものになる。
以下の図(g(y)>0)で, a<bとする。曲線x=g(y), y軸, および2直線y=a, y=bで囲まれた図形をy軸の回りに1回転してできる立体の体積をVとする。
いま, 区間a\leqq y\leqq bで, y軸上の点yを通り, y軸に垂直な平面でこの回転体を切ったとき, 断面の円の半径はちょうどg(y)になる。したがって, この位置における断面積S(y)は,
S(y)=\pi\left\{g(y)\right\}^2
となる。ゆえに, x軸について1回転させた立体の体積V
V=\displaystyle\int^b_a S(y)\,dy=\pi\displaystyle\int^b_a\left\{g(y)\right\}^2\,dy=\pi\displaystyle\int^b_a x^2\,dy (a<b)

Rendered by QuickLaTeX.com

曲線x=g(y), y軸, および2直線y=a, y=bで囲まれた図形をy軸について1回転させた立体の体積V
V=\pi\displaystyle\int^b_a x^2\,dy (a<b)
で与えられる。

関連記事

TikZ:高校数学:数III積分・定積分と体積(なぜ体積が求まるのか) TikZ:高校数学:数III積分・関数で囲まれた回転体の体積

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。

日本語が含まれない投稿は無視されますのでご注意ください。(スパム対策)