TikZ:高校数学:数III積分・定積分と体積(なぜ体積が求まるのか)

こんにちは。今回は定積分と体積について書いておきます。

定積分と体積

以下のようにx軸上の点a, bを通り, x軸に垂直な平面で切った立体がある。a\leqq x\leqq bとして, x軸上の点xを通り垂直な平面でこの立体を切ったときの断面積をS(x)とする。また, 区間[a, x]の間の立体の体積をV(x)とする。

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以下, 下図参照ください。
xの増加量\Delta xに対するV(x)の増加量は,
\Delta V=V(x+\Delta x)-V(x)
で表され, \Delta xが極めて小さい正の数のとき, xx+\Delta xの間にtを適当にとれば,
\Delta V=S(t)\Delta x
とできる。
ここで, \Delta x\to 0のとき, t\to xであるから, \Delta V\Delta xで割ると,
\begin{array}{lll}\displaystyle\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta V}{\Delta x}&=&\underline{\displaystyle\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{V(x+\Delta x)-V(x)}{\Delta x}}\cdots\maru1\\&=&\displaystyle\lim_{t\to x}\dfrac{S(t)\Delta x}{\Delta x}\\&=&\displaystyle\lim_{t\to x}S(t)=S(x)\end{array}
となり, \maru1の下線部は微分の定義よりV'(x)である。
したがって, V'(x)=S(x)が得られ, これを積分すると, 体積Vは,
V=V(x)+C(Cは積分定数)となり, 区間[a,\, x]では, x=aのとき, V=0であるから, V(a)+C=0となり, C=-V(a),
一般に積分区間はx=bまでなので, 立体の体積Vは,
V=V(b)-V(a)
すなわち,
V=\displaystyle\int^b_a S(x)\,dx
となる。

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定積分と体積

x軸に垂直な平面による断面積がS(x)である立体の体積Vは, 立体の区間をa\leqq x\leqq bとすると,
V=\displaystyle\int^b_a S(x)\,dx

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