高校数学：数列・分数型の漸化式の解法①

こんにちは。今回は分数型の数列の解法を書いておきます。例題を見ながらいきましょう。

シンプルな分数型は逆数で考える

【例】 $a_1=\dfrac12$ , $a_n=\dfrac{a_n}{2-a_n}$ で定義される数列の一般項 $\{a_n\}$ を求めよ。
【解法】 $a_{n+1}=0$ とすると, 与式より $a_n=0$ , $a_n=0$ なら $a_{n-1}=0$ となり, これを繰り返すと, $a_1=0$ となるが, $a_1=\dfrac12$ であるので矛盾する。よって, $a_n\neq0$
このとき, 与式の両辺の逆数をとると,
$\begin{array}{lll}\dfrac{1}{a_{n+1}}&=&\dfrac{2-a_n}{a_n}\\&=&\dfrac{2}{a_n}-1\end{array}$
ここで, $b_n=\dfrac{1}{a_n}$ とおくと,
$b_{n+1}=2b_n-1\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
式変形すると
$b_{n+1}-1=2(b_n-1)\cdots\textcircled{\scriptsize 2}$
数列 $b_n-1$ は初項 $b_1-1=\dfrac{1}{a_1}-1=1$ , 公比2の等比数列である。
よって,
$b_n-1=2^{n-1}$
$b_n=2^{n-1}+1$
となり,
$\dfrac{1}{a_n}=2^{n-1}+1$
から
$a_n=\dfrac{1}{2^{n-1}+1}$
となる。