高校数学：数III極限・関数の極限

こんにちは。今回は関数の極限について書いておきます。

関数の極限値の性質

関数の極限値の性質
$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\alpha$ , $\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\beta$ のとき,
$\maru1$ 　 $\displaystyle\lim_{x\to a} kf(x)=k\alpha$
$\maru2$ 　 $\displaystyle\lim_{x\to a}\left\{ f(x)\pm g(x)\right\}=\alpha\pm\beta$ 　(複合同順)
$\maru3$ 　 $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)\cdot g(x)=\alpha\beta$
$\maru4$ 　 $\displaystyle\lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\alpha}{\beta}$ 　 $(\beta\neq0)$
※ $a$ が $\infty$ だとしても, 関数 $f(x)$ の極限は考えられる。

関数の極限

$\maru1$ 　極限値 $\alpha$ に収束　 $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\alpha$
$\maru2$ 　正の無限大に発散　 $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\infty$
$\maru3$ 　負の無限大に発散　 $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=-\infty$
$\maru4$ 　極限はない

関数の極限があるとは

右側極限 $\displaystyle\lim_{x\to a+0}f(x)$ と左側極限 $\displaystyle\lim_{x\to a-0}f(x)$ がともに極限を持ちそれが一致することを言う。つまり,
$\displaystyle\lim_{x\to a+0}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to a-0}f(x)=\alpha\Longleftrightarrow\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\alpha$

問題をやってみよう

【例】次の極限を調べよ。
(1)　 $\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-5x+6}{x-2}$
(2)　 $\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}$
(3)　 $\displaystyle\lim_{x\to 3}\dfrac{5x}{(x-3)^2}$

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(1)　 $\dfrac{x^2-5x+6}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x-3)}{x-2}=x-3$ なので,
(与式) $=\displaystyle\lim_{x\to2}(x-3)=2-3=-1$
(2)　分子の有理化を行う。
$\begin{array}{lll}\dfrac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}&=&\dfrac{\left(\sqrt{x+2}-2\right)\left(\sqrt{x+2}+2\right)}{(x-2)\left(\sqrt{x+2}+2\right)}\\&=&\dfrac{x-2}{(x-2)\left(\sqrt{x+2}+2\right)}\\&=&\dfrac{1}{\sqrt{x+2}+2}\end{array}$
なので,
(与式) $=\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{1}{\sqrt{x+2}+2}=\dfrac{1}{\sqrt{2+2}+2}=\dfrac{1}{4}$
(3)　 $x$ が十分3に近いとき, $\dfrac{5x}{(x-3)^2}>0$ であり, 分子は15に近づき, 分母は0に近づくので, $\dfrac{5x}{(x-3)^2}$ の値は正の無限大に発散する。
したがって, $\displaystyle\lim_{x\to 3}\dfrac{5x}{(x-3)^2}=\infty$

【例】関数 $f(x)$ が次式で与えられるとき, $\displaystyle\lim_{x\to \infty}f(x)$ , $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$ を調べよ。
(1)　 $f(x)=\dfrac{3x^2-4x+1}{4x^2+7x-3}$
(2)　 $f(x)=\dfrac{3x^3-4}{x^2+5}$
(3)　 $f(x)=\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}$

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(1)　分母分子を $x^2$ で割る。
$f(x)=\dfrac{3-\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{x^2}}{4+\dfrac{7}{x}-\dfrac{3}{x^2}}$ なので,
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}=\displaystyle\lim_{x\to-\infty}=\dfrac34$
(2)　分母分子を $x^2$ で割る。
$f(x)=\dfrac{3x-\dfrac{4}{x^2}}{1+\dfrac{5}{x^2}}$ なので,
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$
(3)　分子の有理化を行う。
$f(x)=\dfrac{\left(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}\right)\left(\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}\right)}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}}=\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}}$
なので,
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}}=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{2}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}}=1$
無理関数の $x\to-\infty$ の極限を調べるとき, この場合は $t=-x$ とおいてやる方がミスしにくい。
すると, $x\to-\infty$ が, $t\to\infty$ となり, $x=-t$ なので,
$\begin{array}{lll}\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x2-x}}&=&\displaystyle\lim_{t\to\infty}\dfrac{-2t}{\sqrt{t^2-t}+\sqrt{t^2+t}}\\&=&\dfrac{-2}{\sqrt{1-\dfrac{1}{t}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{t}}}\\&=&-1\end{array}$

x→－無限大

$t=-x$ とおいて, $t\to\infty$ , $x=-t$ として極限を調べるとよい。

【例】極限 $\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{|x-2|}$ を調べよ。

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$\dfrac{x^2-4}{|x-2|}=\dfrac{(x+2)(x-2)}{|x-2|}$ である。
絶対値を外して考えるため, 絶対値の中の符号で場合分けする。
$x-2>0$ , つまり, $x>2$ のとき,
$\dfrac{(x+2)(x-2)}{x-2}=x+2$ なので,
$\displaystyle\lim_{x\to2+0}(x+2)=2+2=4$
$x-2<0$ , つまり, $x<2$ のとき,
$\dfrac{(x+2)(x-2)}{-(x-2)}=-x-2$ なので,
$\displaystyle\lim_{x\to2-0}(-x-2)=-2-2=-4$
となるので, $\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{|x-2|}$ は存在しない。