高校数学：ベクトル：内積を用いた直線のベクトル方程式

こにちは。今回はベクトル方程式と内積について書いておきます。

内積を用いた直線のベクトル方程式

点 $\mathrm{A}(\overrightarrow{ \mathstrut a})$ を通り, $\overrightarrow{ \mathstrut n}$ に垂直な直線 $\ell$ を求めてみる。直線 $\ell$ のベクトル方程式は, $\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$ が $\ell$ 上にあるためには,
$\overrightarrow{ \mathstrut n}\perp\bekutoru{AP}\Longleftrightarrow\overrightarrow{ \mathstrut n}\cdot\bekutoru{AP}=0$
が条件である。したがって,
$\overrightarrow{ \mathstrut n}\cdot\left(\overrightarrow{ \mathstrut p}-\overrightarrow{ \mathstrut a}\right)=0\cdots\maru1$
となる。
$\overrightarrow{ \mathstrut n}$ を直線 $\ell$ の法線ベクトルという。
また, このとき, $\mathrm{A}(\, x_1,\, y_1\, )$ , $\mathrm{P}(\, x,\, y\, )$ , $\overrightarrow{ \mathstrut n}=(\, a,\, b\, )$ とすると, $\maru1$ は次のように書き換えることができる。
$\overrightarrow{ \mathstrut n}\cdot\bekutoru{AP}=0$ において,
$\bekutoru{AP}=(\, x-x_1,\, y-y_1\, )$ なので,
$a(x-x_1)+b(y-y_1)=0$

法線ベクトル

法線ベクトルとは, 例えば, 直線 $\ell$ に垂直なベクトルを直線 $\ell$ の法線ベクトルという。
直線 $ax+by+c=0$ の法線ベクトルは $\overrightarrow{ \mathstrut n}=(\, a,\, b\, )$ である。証明はこちら

例題

【例】点 $\mathrm{A}(\, 4,\, 1\, )$ を通り, ベクトル $\overrightarrow{ \mathstrut n}=(\, 1,\, -3\, )$ に垂直な直線の方程式を求めよ。またこの直線と $x+2y-3=0$ のなす角を求めよ。
【解答例】
直線上の点を $\mathrm{P}(\, x,\, y\, )$ とすると,
求める直線は, $\overrightarrow{ \mathstrut n}\cdot\left(\overrightarrow{ \mathstrut p}-\overrightarrow{ \mathstrut a}\right)=0$ なので,
$\overrightarrow{ \mathstrut p}-\overrightarrow{ \mathstrut a}=(\, x-4,\, y-1\, )$ であるから,
$(x-4)-3(y-1)=0$
よって, 求める直線は, $x-3y-1=0\cdots$ (答)
次に, なす角を求めると,
$x+2y+3=0$ の法線ベクトルは, $(\, 1,\, 2\, )$ , $x-3y-1=0$ の法線ベクトルは, $(\, 1,\, -3\, )$ であるから, 内積の公式を用いてなす角 $\theta$ を求める。
$\overrightarrow{ \mathstrut s}=(\, 1,\, 2\, )$ , $\overrightarrow{ \mathstrut t}=(\, 1,\, -3\, )$ とすると,
$|\overrightarrow{ \mathstrut s}|=\sqrt{ \mathstrut 5}$ , $|\overrightarrow{ \mathstrut t}|=\sqrt{ \mathstrut 10}$
$\overrightarrow{ \mathstrut s}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut t}=1\cdot1+2\cdot(-3)=-5$
よって,
$\cos\theta=\dfrac{-5}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}}=-\dfrac{1}{\sqrt2}$
$\theta=135\Deg$
したがって, 2直線のなす角は, $180\Deg-135\Deg=45\Deg\cdots$ (答)
※2直線のなす角は法線ベクトルの取り方によって鋭角になったり鈍角になったりする。