高校数学：ベクトル・ベクトル方程式と媒介変数

こんにちは。今回はベクトル方程式と媒介変数について書いておきます。

ベクトル方程式とは

ベクトル方程式とは, 点 $\mathrm{P}(\overrightarrow{ \mathstrut p})$ が曲線 $C$ 上にあるための位置ベクトル $\overrightarrow{ \mathstrut p}$ の条件を等式で表したもの。

直線のベクトル方程式

$\maru1$ 点 $\mathrm{A}(\overrightarrow{ \mathstrut a})$ を通り, $\overrightarrow{ \mathstrut v}$ に平行な直線のベクトル方程式は,
$\overrightarrow{ \mathstrut p}=\overrightarrow{ \mathstrut a}+t\overrightarrow{ \mathstrut v}$ 　 $(\overrightarrow{ \mathstrut v}\neq\overrightarrow{ \mathstrut 0})$
$\overrightarrow{v}$ のことを方向ベクトルという。
$\maru2$ 2点 $\mathrm{A}(\overrightarrow{ \mathstrut a})$ , $\mathrm{B}(\overrightarrow{ \mathstrut b})$ を通る直線のベクトル方程式は,
$\overrightarrow{ \mathstrut p}=(1-t)\overrightarrow{ \mathstrut a}+t\overrightarrow{ \mathstrut b}$

2021年4月8日高校数学：平面ベクトルs+t=1のなぜ

直線の媒介変数表示

座標平面において, 点 $\mathrm{A}(\, x_1,\, y_1\, )$ を通り, 方向ベクトルが $\overrightarrow{ \mathstrut v}=(\, a,\, b\, )$ の直線 $\ell$ 上の点 $\mathrm{P}(\, x,\, y\, )$ は,
$\begin{cases}x=x_1+at\\y=y_1+bt\end{cases}$
と表すことができる。これを直線 $\ell$ の媒介変数表示といい, $t$ を媒介変数という。
【例】点 $\mathrm{A}(\, 4,\, 2\, )$ を通り, 方向ベクトル $\overrigtarrow{ \mathstrut v}=(-2, 3)$ に平行な直線 $\ell$ を媒介変数 $t$ を用いて表し, $t$ を消去して, 直線の式を求めよ。
【解答例】直線 $\ell$ を媒介変数表示すると,
$\begin{cases}x=4-2t\cdots\maru1\\y=2+3t\cdots\maru2\end{cases}$
$\maru1\times3+\maru2\times2$ より
$\begin{array}{cccccc}&3x&=&12&-&6t\\+)&2y&=&4&+&6t\\\hline&3x+2y&=&16&&\end{array}$
よって, 求める直線の式は $3x+2y=16$