高校数学:ベクトル・ベクトル方程式と媒介変数

こんにちは。今回はベクトル方程式と媒介変数について書いておきます。

ベクトル方程式とは

ベクトル方程式とは, 点\mathrm{P}(\overrightarrow{ \mathstrut p})が曲線C上にあるための位置ベクトル\overrightarrow{ \mathstrut p}の条件を等式で表したもの。

直線のベクトル方程式

\maru1\mathrm{A}(\overrightarrow{ \mathstrut a})を通り, \overrightarrow{ \mathstrut v}に平行な直線のベクトル方程式は,
\overrightarrow{ \mathstrut p}=\overrightarrow{ \mathstrut a}+t\overrightarrow{ \mathstrut v} (\overrightarrow{ \mathstrut v}\neq\overrightarrow{ \mathstrut 0})
\overrightarrow{v}のことを方向ベクトルという。
\maru2 2点\mathrm{A}(\overrightarrow{ \mathstrut a}), \mathrm{B}(\overrightarrow{ \mathstrut b})を通る直線のベクトル方程式は,
\overrightarrow{ \mathstrut p}=(1-t)\overrightarrow{ \mathstrut a}+t\overrightarrow{ \mathstrut b}

高校数学:平面ベクトルs+t=1のなぜ

直線の媒介変数表示

座標平面において, 点\mathrm{A}(\, x_1,\,  y_1\, )を通り, 方向ベクトルが\overrightarrow{ \mathstrut v}=(\, a,\,  b\, )の直線\ell上の点\mathrm{P}(\, x,\, y\, )は,
\begin{cases}x=x_1+at\\y=y_1+bt\end{cases}
と表すことができる。これを直線\ellの媒介変数表示といい, tを媒介変数という。
【例】点\mathrm{A}(\, 4,\, 2\, )を通り, 方向ベクトル\overrigtarrow{ \mathstrut v}=(-2, 3)に平行な直線\ellを媒介変数tを用いて表し, tを消去して, 直線の式を求めよ。
【解答例】直線\ellを媒介変数表示すると,
\begin{cases}x=4-2t\cdots\maru1\\y=2+3t\cdots\maru2\end{cases}
\maru1\times3+\maru2\times2より
\begin{array}{cccccc}&3x&=&12&-&6t\\+)&2y&=&4&+&6t\\\hline&3x+2y&=&16&&\end{array}
よって, 求める直線の式は3x+2y=16

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