高校数学：平面ベクトルs+t=1のなぜ

こんにちは。平面ベクトルで, 分点の公式とかやってると, 点Pは直線AB上にあるので, 係数の和は1になるみたいなことが登場するのですが, それを書いておきます。内分点, 外分点の話は別に書くとして, 書いていきます。

点Pが内分点のとき

Pが直線AB上にあるとき, $(0<t<1)$ 図のようになります。

$\overrightarrow{\mathstrut\text{OP}}=\overrightarrow{\mathstrut\text{OA}}+\overrightarrow{\mathstrut\text{AP}}=\overrightarrow{\mathstrut\text{OA}}+t\overrightarrow{\text{AB}}(0<t<1)$
$\overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut a}+t\left(\overrightarrow{\mathstrut b}-\overrightarrow{\mathstrut a}\right)$
$=\left(1-t\right)\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}$
$(1-t)=s$ とすれば,
$\overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}$
このとき, $s+t=(1-t)+t=1$ で, $0<t<1$ より, $0<s<1$ である。

点Pが外分点のとき①

PがABのBの側の外側にあるとき, $(t>1)$ のとき,

内分点と同様の考え方から,
$\overrightarrow{\mathstrut\text{OP}}=\overrightarrow{\mathstrut\text{OA}}+\overrightarrow{\mathstrut\text{AP}}=\overrightarrow{\mathstrut\text{OA}}+t\overrightarrow{\text{AB}}(t>1)$
$\overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut a}+t\left(\overrightarrow{\mathstrut b}-\overrightarrow{\mathstrut a}\right)$
$=\left(1-t\right)\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}$
$(1-t)=s$ とすれば,
$\overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}$
このとき, $s+t=(1-t)+t=1$ で, $t>1$ より, $s<0$

点Pが外分点のとき②

PがABのAの側の外側にあるとき, $(s>1)$ のとき,

$\overrightarrow{\mathstrut\text{OP}}=\overrightarrow{\mathstrut\text{OB}}+\overrightarrow{\mathstrut\text{BP}}=\overrightarrow{\mathstrut\text{OB}}+s\overrightarrow{\text{BA}}(s>1)$
$\overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut b}+s\left(\overrightarrow{\mathstrut a}-\overrightarrow{\mathstrut b}\right)$
$=s\overrightarrow{\mathstrut a}+\left(1-s\right)\overrightarrow{\mathstrut b}$
$(1-s)=t$ とすれば,
$\overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}$
このとき, $s+t=s+(1-s)=1$ で, $s>1$ より, $t<0$

以上より,
$\overrightarrow{\mathstrut\text{OP}}=s\overrightarrow{\mathstrut\text{OA}}+t\overrightarrow{\mathstrut\text{OB}}$ において, 点Pが直線AB上にあるなら, $s+t=1$ が成り立つ。その逆も成り立つ。