高校数学:平面ベクトルs+t=1のなぜ

こんにちは。平面ベクトルで, 分点の公式とかやってると, 点Pは直線AB上にあるので, 係数の和は1になるみたいなことが登場するのですが, それを書いておきます。内分点, 外分点の話は別に書くとして, 書いていきます。

点Pが内分点のとき

Pが直線AB上にあるとき, (0<t<1)図のようになります。

\overrightarrow{\mathstrut\text{OP}}=\overrightarrow{\mathstrut\text{OA}}+\overrightarrow{\mathstrut\text{AP}}=\overrightarrow{\mathstrut\text{OA}}+t\overrightarrow{\text{AB}}(0<t<1)
\overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut a}+t\left(\overrightarrow{\mathstrut b}-\overrightarrow{\mathstrut a}\right)
=\left(1-t\right)\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}
(1-t)=sとすれば,
\overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}
このとき, s+t=(1-t)+t=1で, 0<t<1より, 0<s<1である。

点Pが外分点のとき①

PがABのBの側の外側にあるとき, (t>1)のとき,

内分点と同様の考え方から,
\overrightarrow{\mathstrut\text{OP}}=\overrightarrow{\mathstrut\text{OA}}+\overrightarrow{\mathstrut\text{AP}}=\overrightarrow{\mathstrut\text{OA}}+t\overrightarrow{\text{AB}}(t>1)
\overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut a}+t\left(\overrightarrow{\mathstrut b}-\overrightarrow{\mathstrut a}\right)
=\left(1-t\right)\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}
(1-t)=sとすれば,
\overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}
このとき, s+t=(1-t)+t=1で, t>1より, s<0

点Pが外分点のとき②

PがABのAの側の外側にあるとき, (s>1)のとき,

\overrightarrow{\mathstrut\text{OP}}=\overrightarrow{\mathstrut\text{OB}}+\overrightarrow{\mathstrut\text{BP}}=\overrightarrow{\mathstrut\text{OB}}+s\overrightarrow{\text{BA}}(s>1)
\overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut b}+s\left(\overrightarrow{\mathstrut a}-\overrightarrow{\mathstrut b}\right)
=s\overrightarrow{\mathstrut a}+\left(1-s\right)\overrightarrow{\mathstrut b}
(1-s)=tとすれば,
\overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}
このとき, s+t=s+(1-s)=1で, s>1より, t<0

以上より,
\overrightarrow{\mathstrut\text{OP}}=s\overrightarrow{\mathstrut\text{OA}}+t\overrightarrow{\mathstrut\text{OB}}において, 点Pが直線AB上にあるなら, s+t=1が成り立つ。その逆も成り立つ。

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