高校数学:空間ベクトルs+t+u=1のなぜ

こんにちは。相城です。今回は空間ベクトルの必須アイテムである公式についてです。以下のようなものです。
四面体\mathrm{OABC}において, \mathrm{P}が△\mathrm{ABC}(平面\mathrm{ABC})上にあるとき, \overightarrow{\text{OP}}=s\overrightarrow{\text{OA}}+t\overrightarrow{\text{OB}}+u\overrightarrow{\text{OC}}で, s+t+u=1となることを証明したいと思います。

s+t+u=1のなぜ

\overrightarrow{\text{OA}}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{\text{OB}}=\overrightarrow{b}, \overrightarrow{\text{OC}}=\overrightarrow{c}とおくと,
\overrightarrow{\text{OP}}=\overrightarrow{\text{OC}}+\overrightarrow{\text{CP}}\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
Pは△\mathrm{ABC}(平面\mathrm{ABC})上にあるので,
\overrightarrow{\text{CP}}=s\overrightarrow{\text{CA}}+t\overrightarrow{\text{CB}}\cdots\textcircled{\scriptsize 2}と置け,
\overrightarrow{\text{CA}}=\overrightarrow{\text{OA}}-\overrightarrow{\text{OC}},
\overrightarrow{\text{CB}}=\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OC}}であるから, \textcircled{\scriptsize 2}は次のようになる。
\overrightarrow{\text{CP}}=s\left(\overrightarrow{\text{OA}}-\overrightarrow{\text{OC}}\right)+t\left(\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OC}}\right)
これを\textcircled{\scriptsize 1}に代入すると,
\overrightarrow{\text{OP}}=\overrightarrow{\text{OC}}+s\left(\overrightarrow{\text{OA}}-\overrightarrow{\text{OC}}\right)+t\left(\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OC}}\right)
展開して, 整理すると,
\overrightarrow{\text{OP}}=s\overrightarrow{\text{OA}}+t\overrightarrow{\text{OB}}+(1-s-t)\overrightarrow{\text{OC}}
1-s-t=uと置くと,
\overrightarrow{\text{OP}}=s\overrightarrow{\text{OA}}+t\overrightarrow{\text{OB}}+u\overrightarrow{\text{OC}}
となり, このとき, s+t+u=s+t+(1-s-t)=1である。
ちなみに点\mathrm{P}が△\mathrm{ABC}の内部(周上を含む)にあるときは, s\geqq0, t\geqq0, u\geqq0, s+t+u=1である。
また, s+t+u=1ならば点\mathrm{P}は平面\mathrm{ABC}上にあり, 点\mathrm{P}が平面\mathrm{ABC}上にあるならば, s+t+u=1という, 必要十分条件の関係にあることも押さえておきましょう。

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