高校数学:そのままでは不可能な因数分解

こんにちは。こんな因数分解できるの?ってやつです。そのままじゃ並べ替えたって太刀打ちできない, 付け加えて因数分解するものです。名付けて付け加えパターンの問題です。それでは例題を解きながら説明していきます。

そのままでは不可能な因数分解

【例題】x^4+x^2+1を因数分解しなさい。
【解法】初めて見たとき, 正直よくわかりませんでした。種明かしされ, なる~~とうなったものです。次のように式変形します。
x^4+x^2+1=\underline{x^4+2x^2+1}-x^2
下線分を因数分解すると,
(x^2+1)^2-x^2となり, A^2-B^2=(A+B)(A-B)の形に帰着します。
したがって, (x^2+1)=Aとすると,
A^2-x^2=(A+x)(A-x)
A=(x^2+1)として, 元に戻し, 並べ替えると,
(x^2+x+1)(x^2-x+1)
と因数分解できます。
もう1つやってみましょう。

【例題】x^4+4を因数分解しなさい。
【解法】\underline{x^4+4x^2+4}-4x^2と式変形し, 下線分を因数分解すると,
(x^2+2)^2-4x^2
(x^2+2)=Aとおいて, 因数分解すると,
A^2-4x^2=(A+2x)(A-2x)
A=(x^2+2)に戻し, 並べ替えると,
(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)
と因数分解できます。

この手の因数分解の特徴は, x^4とか次数が結構高めのことがあるので, そのままで因数分解できないときは, 一度このパターンではないか考えてみてください。それでは。

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