数学における「かつ」と「または」の意味

こんにちは。高校数学を習っていて, 「かつ」と「または」の意味を理解するときに, 特に「または」に戸惑うことがあったので, 「かつ」とあわせてここに書いておきます。

「かつ」は両方

「かつ」という言葉には大きな違和感を覚えないことでしょう。
「AかつB」という意味はAとBがともに成立するときです。
A=犬を飼っている人
B=猫を飼っている人
とすれば, AかつBは犬も猫も飼っている人という具合になります。
ベン図で表すと以下の青の部分になります。

「または」最低1つ~最高両方

それでは, これと同じ条件で「AまたはB」という意味はどういう意味を表すか, 結論から申しますと, 次の3通りの場合を含んでいるのです。
①「Aが成立するが, Bは成立しない」(犬は飼っているが, 猫は飼っていない)
②「Aは成立しないが, Bは成立する」(犬は飼っていないが, 猫は飼っている)
③「AもBも成立する」\longrightarrow「AかつB」(犬も猫も飼っている)
つまり, 犬か猫少なくとも一方を飼っている人という意味と同じになります。この意味は, 最低犬か猫のどちらか一方を飼っていて, 最高犬と猫の両方を飼っていてもいいという意味合いになります。したがって, 「AまたはB」には「AかつB」を含んでいます。
ベン図で表すと以下の黒の太線枠内全部になります。

日常で使う「または」はどちらか1つという意味で用いられますが, 数学の世界ではそれは通用しません。数学でどちらか1つを表すときは, 「どちらか一方を~」のようにはっきりとわかるように示してくれます。
以下にまとめておきました。

各言葉の意味
  1. AかつB=AとB両方
  2. AまたはB=Aだけの場合, Bだけの場合, AとB両方の場合を含む
  3. AとB少なくとも一方=AまたはBと同意で3つの場合の意味を含む
  4. AとBどちらか一方=Aだけの場合か Bだけの場合かどちらか1つ

それでは。

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