高校数学：平面ベクトル・分点の位置ベクトルと公式

こんにちは。今回は平面ベクトルの必須アイテム, 分点の公式を扱っていきます。線分AB上に点Pがある場合(Pが内分点の場合)と点Pが線分AB外側で直線AB上にある場合(点Pが外分点の場合)を示していきます。

Pがm : nに内分する場合

まずは点Pが線分ABを $m : n$ に内分する場合

$\overrightarrow{\mathstrut\text{OP}}=\overrightarrow{\mathstrut\text{OA}}+\overrightarrow{\mathstrut\text{AP}}=\overrightarrow{\mathstrut\text{OA}}+\dfrac{m}{m+n}\overrightarrow{\text{AB}}$
$\overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut a}+\dfrac{m}{m+n}\left(\overrightarrow{\mathstrut b}-\overrightarrow{\mathstrut a}\right)$
$\overrightarrow{\mathstrut p}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}\left(m+n\right)}{m+n}+\dfrac{m\left(\overrightarrow{\mathstrut b}-\overrightarrow{\mathstrut a}\right)}{m+n}$
$\overrightarrow{\mathstrut p}=\dfrac{n\overrightarrow{\mathstrut a}+m\overrightarrow{\mathstrut b}}{m+n}\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
ちなみに, $\textcircled{\scriptsize 1}$ を書き換えると,
$\overrightarrow{\mathstrut p}=\underline{\dfrac{n}{m+n}}\overrightarrow{\mathstrut a}+\underline{\dfrac{m}{m+n}}\overrightarrow{\mathstrut b}}$
となり, 下線部の和は1(点Pが直線AB上にあるので)になっています。

Pがm : n(m＞n)に外分する場合

点Pが $m : n\ (m>n)$ に外分するとき,

$\overrightarrow{\mathstrut\text{OP}}=\overrightarrow{\mathstrut\text{OA}}+\overrightarrow{\mathstrut\text{AP}}=\overrightarrow{\mathstrut\text{OA}}+\dfrac{m}{m-n}\overrightarrow{\text{AB}}$
$\overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut a}+\dfrac{m}{m-n}\left(\overrightarrow{\mathstrut b}-\overrightarrow{\mathstrut a}\right)$
$\overrightarrow{\mathstrut p}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}\left(m-n\right)}{m-n}+\dfrac{m\left(\overrightarrow{\mathstrut b}-\overrightarrow{\mathstrut a}\right)}{m-n}$
$\overrightarrow{\mathstrut p}=\dfrac{-n\overrightarrow{\mathstrut a}+m\overrightarrow{\mathstrut b}}{m-n}\cdots\textcircled{\scriptsize 2}$
ちなみに, $\textcircled{\scriptsize 2}$ を書き換えると,
$\overrightarrow{\mathstrut p}=\underline{\dfrac{-n}{m-n}}\overrightarrow{\mathstrut a}+\underline{\dfrac{m}{m-n}}\overrightarrow{\mathstrut b}}$
となり, 下線部の和は1(点Pが直線AB上にあるので)になっています。

Pがm : n(m＜n)に外分する場合

点Pが $m : n\ (m<n)$ に外分するとき,

$\overrightarrow{\mathstrut\text{OP}}=\overrightarrow{\mathstrut\text{OB}}+\overrightarrow{\mathstrut\text{BP}}=\overrightarrow{\mathstrut\text{OB}}+\dfrac{n}{n-m}\overrightarrow{\text{BA}}$
$\overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut b}+\dfrac{n}{n-m}\left(\overrightarrow{\mathstrut a}-\overrightarrow{\mathstrut b}\right)$
$\overrightarrow{\mathstrut p}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut b}\left(n-m\right)}{n-m}+\dfrac{n\left(\overrightarrow{\mathstrut a}-\overrightarrow{\mathstrut b}\right)}{n-m}$
$\overrightarrow{\mathstrut p}=\dfrac{n\overrightarrow{\mathstrut a}-m\overrightarrow{\mathstrut b}}{n-m}=\dfrac{-n\overrightarrow{\mathstrut a}+m\overrightarrow{\mathstrut b}}{m-n}\cdots\textcircled{\scriptsize 3}$
ちなみに, $\textcircled{\scriptsize 3}$ を書き換えると,
$\overrightarrow{\mathstrut p}=\underline{\dfrac{-n}{m-n}}\overrightarrow{\mathstrut a}+\underline{\dfrac{m}{m-n}}\overrightarrow{\mathstrut b}}$
となり, 下線部の和は1(点Pが直線AB上にあるので)になっています。

分点公式の覚え方

分点の公式は以下のように覚えるといいかもしれません。
外分点は $m : -n$ に内分すると考えて, 内分点と同じように扱うといいでしょう。

分点公式の覚え方

線分ABを $m : n$ に内分する点をPとするとき,

$\overrightarrow{\mathstrut p}=\dfrac{n}{m+n}\overrightarrow{\mathstrut a}+\dfrac{m}{m+n}\overrightarrow{\mathstrut b}}$
が成立する。
外分点の場合は $-n\ (m : -n$ に内分すると考えて)にして,
$\overrightarrow{\mathstrut p}=\dfrac{-n}{m-n}\overrightarrow{\mathstrut a}+\dfrac{m}{m-n}\overrightarrow{\mathstrut b}}$
とする。

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