高校数学:平面ベクトル・分点の公式

こんにちは。今回は平面ベクトルの必須アイテム, 分点の公式を扱っていきます。線分AB上に点Pがある場合(Pが内分点の場合)と点Pが線分AB外側で直線AB上にある場合(点Pが外分点の場合)を示していきます。

Pがm : nに内分する場合

まずは点Pが線分ABをm : nに内分する場合

\overrightarrow{\mathstrut\text{OP}}=\overrightarrow{\mathstrut\text{OA}}+\overrightarrow{\mathstrut\text{AP}}=\overrightarrow{\mathstrut\text{OA}}+\dfrac{m}{m+n}\overrightarrow{\text{AB}}
\overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut a}+\dfrac{m}{m+n}\left(\overrightarrow{\mathstrut b}-\overrightarrow{\mathstrut a}\right)
\overrightarrow{\mathstrut p}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}\left(m+n\right)}{m+n}+\dfrac{m\left(\overrightarrow{\mathstrut b}-\overrightarrow{\mathstrut a}\right)}{m+n}
\overrightarrow{\mathstrut p}=\dfrac{n\overrightarrow{\mathstrut a}+m\overrightarrow{\mathstrut b}}{m+n}\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
ちなみに, \textcircled{\scriptsize 1}を書き換えると,
\overrightarrow{\mathstrut p}=\underline{\dfrac{n}{m+n}}\overrightarrow{\mathstrut a}+\underline{\dfrac{m}{m+n}}\overrightarrow{\mathstrut b}}
となり, 下線部の和は1(点Pが直線AB上にあるので)になっています。

Pがm : n(m>n)に外分する場合

点Pがm : n\ (m>n)に外分するとき,

\overrightarrow{\mathstrut\text{OP}}=\overrightarrow{\mathstrut\text{OA}}+\overrightarrow{\mathstrut\text{AP}}=\overrightarrow{\mathstrut\text{OA}}+\dfrac{m}{m-n}\overrightarrow{\text{AB}}
\overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut a}+\dfrac{m}{m-n}\left(\overrightarrow{\mathstrut b}-\overrightarrow{\mathstrut a}\right)
\overrightarrow{\mathstrut p}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}\left(m-n\right)}{m-n}+\dfrac{m\left(\overrightarrow{\mathstrut b}-\overrightarrow{\mathstrut a}\right)}{m-n}
\overrightarrow{\mathstrut p}=\dfrac{-n\overrightarrow{\mathstrut a}+m\overrightarrow{\mathstrut b}}{m-n}\cdots\textcircled{\scriptsize 2}
ちなみに, \textcircled{\scriptsize 2}を書き換えると,
\overrightarrow{\mathstrut p}=\underline{\dfrac{-n}{m-n}}\overrightarrow{\mathstrut a}+\underline{\dfrac{m}{m-n}}\overrightarrow{\mathstrut b}}
となり, 下線部の和は1(点Pが直線AB上にあるので)になっています。

Pがm : n(m<n)に外分する場合

点Pがm : n\ (m<n)に外分するとき,

\overrightarrow{\mathstrut\text{OP}}=\overrightarrow{\mathstrut\text{OB}}+\overrightarrow{\mathstrut\text{BP}}=\overrightarrow{\mathstrut\text{OB}}+\dfrac{n}{n-m}\overrightarrow{\text{BA}}
\overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut b}+\dfrac{n}{n-m}\left(\overrightarrow{\mathstrut a}-\overrightarrow{\mathstrut b}\right)
\overrightarrow{\mathstrut p}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut b}\left(n-m\right)}{n-m}+\dfrac{n\left(\overrightarrow{\mathstrut a}-\overrightarrow{\mathstrut b}\right)}{n-m}
\overrightarrow{\mathstrut p}=\dfrac{n\overrightarrow{\mathstrut a}-m\overrightarrow{\mathstrut b}}{n-m}=\dfrac{-n\overrightarrow{\mathstrut a}+m\overrightarrow{\mathstrut b}}{m-n}\cdots\textcircled{\scriptsize 3}
ちなみに, \textcircled{\scriptsize 3}を書き換えると,
\overrightarrow{\mathstrut p}=\underline{\dfrac{-n}{m-n}}\overrightarrow{\mathstrut a}+\underline{\dfrac{m}{m-n}}\overrightarrow{\mathstrut b}}
となり, 下線部の和は1(点Pが直線AB上にあるので)になっています。

分点公式の覚え方

分点の公式は以下のように覚えるといいかもしれません。
外分点はm : -nに内分すると考えて, 内分点と同じように扱うといいでしょう。

分点公式の覚え方
線分ABをm : nに内分する点をPとするとき,

\overrightarrow{\mathstrut p}=\dfrac{n}{m+n}\overrightarrow{\mathstrut a}+\dfrac{m}{m+n}\overrightarrow{\mathstrut b}}
が成立する。
外分点の場合は-n\ (m : -nに内分すると考えて)にして,
\overrightarrow{\mathstrut p}=\dfrac{-n}{m-n}\overrightarrow{\mathstrut a}+\dfrac{m}{m-n}\overrightarrow{\mathstrut b}}
とする。



コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

日本語が含まれない投稿は無視されますのでご注意ください。(スパム対策)