こんにちは。今回は数IIIの回転体の体積を求めるのに有効な技である。バウムクーヘン積分法の紹介です。軸について回転するときに威力を発揮する公式です。それでは見ていきましょう。
バウムクーヘン積分法の公式
関数,
軸,
,
に囲まれる領域を
軸について回転させたときにできる回転体の体積
は,
で与えられる。
これが, バウムクーヘン積分法の公式である。
今, 区間内の
から
(赤の区間)を回転させることを考える。また,
,
とする。
このとき, イメージとしては以下のような感じになる。
このとき. 赤の区間を回転させたときにできる立体の内側の高さ
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![Rendered by QuickLaTeX.com (x+\Delta x)](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-457ce2409b8acb0b0dd3c905cbde62f4_l3.png)
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![Rendered by QuickLaTeX.com \pi\left\{\left(x+\Delta x)^2-x^2\right\}m< \Delta V<\pi\left\{(x+\Delta x)^2-x^2\right\}\mathrm{M}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f35ec744febc52b819a8dc4b541abf1b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \pi\left\{2x\Delta x+\left(\Delta x\right)^2\right\}m<\Delta V<\pi\left\{2x\Delta x+\left(\Delta x\right)^2\right\}\mathrm{M}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3ae7a47a5fc2d64e8c012ac335adfdd7_l3.png)
辺々
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![Rendered by QuickLaTeX.com \pi\left(2x+\Delta x\right)m<\dfrac{\Delta V}{\Delta x}<\pi\left(2x+\Delta x\right)\mathrm{M}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-232c58d6b8479cf35bf0731359b4387c_l3.png)
ここで,
![Rendered by QuickLaTeX.com \Delta x \to 0](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9abb106b733ea459cc5f5612747d11d2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \pi\left(2x+\Delta x\right)m=2\pi x m=2\pi x f(x)](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1316974a6dc311365c2b86419b35c0f1_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \pi\left(2x+\Delta x\right)\mathrm{M}=2\pi x m=2\pi x f(x)](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-87d746899b6d30bfc9502a4c54c8c806_l3.png)
となり, はさみうちの原理より,
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{\Delta V}{\Delta x}=2\pi x f(x)](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bf09a58ab083e546f1a6d16fa12b0e22_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{d V}{d x}=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{V(x+\Delta x)-V(x)}{\Delta x}=\dfrac{\Delta V}{\Delta x}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3178fe444003d479f5964c058068a16e_l3.png)
なので,
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{d V}{d x}=2\pi x f(x)](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9b685e1395aaeab25eaf6d2db037857d_l3.png)
体積を
![Rendered by QuickLaTeX.com x](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5f16b0dcec027c9742e11d99170299a8_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 2\pi x f(x)](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cdda8b0a40f3a9b2007f337cab06f9bb_l3.png)
よって, 求める体積
![Rendered by QuickLaTeX.com V](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-46718c6c3f68a19e4f1dc8f99e938b1e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com V=\displaystyle \int_a^b 2\pi x f(x)\, dx](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b62617e51993b4568b6505d273c81676_l3.png)
【例】曲線を,
軸の回りに回転させてできる立体の体積を求めよ。
【解答例】
与えられた関数をについて解くと,
これをもとにグラフを描くと, 以下のような感じになります。これを
軸について回転させることを考える。
このとき, 以下の部分だけ回転させて, 上下分で2倍すればよいことになります。
したがって, 求める体積
![Rendered by QuickLaTeX.com V](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-46718c6c3f68a19e4f1dc8f99e938b1e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com V=\displaystyle \int_0^1 2\pi x f(x)\,dx\times 2](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8012ede8eb851f9fa87e5187e4136f73_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f(x)=x\sqrt{1-x^2}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ba9c8aced82c5f020c36677551741eb7_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{array}{lll}V&=&\displaystyle \int_0^1 4\pi x^2\sqrt{1-x^2}\,dx\\&=&4\pi\displaystyle \int_0^1 x^2\sqrt{1-x^2}\,dx\cdots\maru1\end{array}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9e5744d2406852b57c5df79a5d851d9b_l3.png)
ここで,
![Rendered by QuickLaTeX.com \maru1](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c8b8ec9c0d15342374d474f3407d687d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \int_0^1 x^2\sqrt{1-x^2}\,dx](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-458ec0ed25fe50692983a0d692363dd9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x=\sin\theta](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aa933d2c3b55d84b5f532f43f8eccf5d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x : 0\to1](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-caab35d0f22d5c4fba3a4db9ab26086a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \theta : 0\to\dfrac{\pi}{2}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a66d2eb485a9edf9d248220dc2f84468_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com dx=\cos\theta\, d\theta](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5ff2d5ca1e1ba957f9cf4af8ec2dec8f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{array}{lll}\displaystyle \int_0^1 x^2\sqrt{1-x^2}\,dx&=&\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^2\theta\cos\theta\cdot\cos\theta\,d\theta\\&=&\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{2}\left(\sin\theta\cos\theta\right)^2\, d\theta\\&=&\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{2}\left(\dfrac12\sin2\theta\right)^2\, d\theta\\&=&\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1-\cos4\theta}{2}\, d\theta\\&=&\dfrac{1}{8}\left[\theta-\dfrac14\sin4\theta\right]_0^{\frac{\pi}{2}}\\&=&\dfrac18\cdot\dfrac{\pi}{2}\\&=&\dfrac{\pi}{16}\cdots\maru2\end{array}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1b6066f0d67576ff5da1f84e2f485a78_l3.png)
よって
![Rendered by QuickLaTeX.com \maru1](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c8b8ec9c0d15342374d474f3407d687d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \maru2](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b55f3d993b1bbf2d3a2ca1e85ea19bd7_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com V=4\pi\cdot \dfrac{\pi}{16}=\dfrac{\pi^2}{4}\cdots](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e857e324494661bb8c88238fe14ca1f9_l3.png)
この曲線はリサージュ曲線と呼ばれる曲線であるようです。
では。
この裏技公式ですが, 使っていいという解釈とそうでないという解釈があります。個人的には受験生は現役生だけでないので, 何使ってもいいと思います。したがって, この裏技も本番で使っていいというのが私の見解です。もちろん, 証明をすれば堂々と使えるのは確かなのですが,証明をしていたのでは時短になりません。そのため,で積分するという正攻法で解くことが困難な場合であるとか, マーク式の問題の場合においては, これを使った解法でもいいのではないかと思います。ただし, 個人の感想ですので, 減点に関しては責任を負いかねます。その点よろしくお願いします。