高校数学：場合の数・立体の塗分けのなぜ？

こんにちは。生徒から質問が多いのをまとめました。
有名な問題として以下の問題で考えてみます。

場合の数の問題(立体の塗り分け)

(1)立方体の各面を,互いに異なる6色をすべて使って塗り分ける方法は何通りあるか。ただし,立方体を回転させたときの面の色が一致する塗り方は同じであるとみなす。
(2)正五角柱の7つの面を赤,,黄,青,緑,紫,茶,黒の7つの色を1色ずつ用いて塗り分ける方法は何通りあるか.ただし,正五角柱を回転したり倒したりして同じになる塗り方は1通りとする。

なぜ6色あるのに底面は1通りなの？

(1)の場合, 円順列と同じような感じで, 特定の1色で底面を固定するのです。すると横の回転についてだけ考えればいいので, 塗分けが簡単になるのです。ですから, どの面も底面となりうる立体である, 立方体や正四面体はどこか1面を底面とすることで塗分けを考えやすくしているのです。ですから特定の色で塗る底面の決め方は1通りということで, 残った色で塗分けの場合の数を考えます。
この場合, 上面の決め方5通り, 側面 $(4-1)!$ なので,
$5\times(4-1)!=30$
$30$ 通り
(2)では上下の塗り方が, 底面7通り, 上面6通り, 側面 $(5-1)!$ で, 五角柱では上面と底面の色が逆で, 側面の色が右回り, 左回りで同じものはひっくり返すと一致するので, 最後に2で割る。よって,
$7\times6\times(5-1)!\div2=504$
$504$ 通り

なぜ5角柱は2で割るのに立方体は2で割らないの？

立方体では, 底面を特定の1色で固定しているから上下方向についての回転は考えないから。
5角柱は底面となるのが2通りあるので上下で2通り同じものができます。ですから2で割ります。
(1)を(2)の考え方を用いて解くと,
底面6通り, 上面5通り, 側面 $(4-1)!$ , 底面とみなせる面が6つあるので, 最後に6で割って,
$6\times5\times(4-1)!\div6=30$
$30$ 通り
というように考えることもできます。