高校数学：数III・偶関数, 奇関数の性質と例と定積分

こんにちは。今回は偶関数と奇関数の見分け方と, その積分について書いておきます。

偶関数とその例

まず偶関数は以下のような関数を差します。
$f(-x)=f(x)$ となる関数
【偶関数の例】
$\cos x,\,$ 　理由 $\cos(-x)=\cos x$
$\sin^2 x,\,$ 　理由 $\{\sin(-x)\}^2=\sin^2 x$
$e^{x^2},\,$ 　理由 $e^{(-x)^2}=e^{x^2}$
このように, $x$ を $-x$ で置き換えても元の式に戻る関数を偶関数といいます。

奇関数とその例

次に奇関数は以下のような関数を差します。
$f(-x)=-f(x)$ となる関数
【奇関数の例】
$\sin x,\,$ 　理由 $\sin(-x)=-\sin x$
$x^3e^{x^2},\,$ 　理由 $(-x)^3e^{(-x)^2}=-x^3e^{x^2}$
$e^x-e^{-x},\,$ 　理由 $e^{-x}-e^{-(-x)}=e^{-x}-e^x=-\left(e^x-e^{-x}\right)$

偶関数と奇関数の積分公式

偶関数や奇関数で積分区間が[ $-a,\, a$ ]であるとき, 数IIで習った以下の公式が成り立つ。
偶関数 $f(-x)=f(x)$ ならば,
$\displaystyle\int_{-a}^a f(x)\, dx=2\displaystyle\int_{0}^a f(x)\, dx$

奇関数 $f(x)=-f(x)$ ならば,
$\displaystyle\int_{-a}^a f(x)\, dx=0$