高校数学：数III微分：なぜa^xを微分するとa^xlogaになるか

2023年3月15日2023年3月19日

こんにちは。今回は $a^x$ の微分についてです。対数微分法を用いると楽なのでそれで証明しましょう。以下, $a>0, a\neq 1$ として進めていきます。

対数微分法

$a^x$ を $f(x)=a^x$ として, 両辺の対数をとると,
$\log f(x)=\log a^x$ となり,
$\log f(x)=x\log a$ となる。
これを $x$ について微分すると,
$\dfrac{f'(x)}{f(x)}=\log a$
$f'(x)=f(x)\log a$
よって,
$(a^x)'=a^x\log x$
以上になります。

他の方法

他の方法を挙げると,
$f(x)=a^x$ とおいて,
両辺の対数をとると,
$\log f(x)=x\log a$ なる。ここから,
$f(x)=e^{x\log a}$ として,
両辺を $x$ で微分すると,
$\begin{array}{lll}f'(x)&=&(x\log a)'\cdot e^{x\log a}\\&=&\log a\cdot e^{x\log a}\\&=&\log a \cdot f(x)\\&=&a^x \log a\end{array}$
よって,
$(a^x)'=a^x\log x$
以上になります。

対数微分法

他の方法

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