TikZ：カテナリー曲線とその類似関数のグラフ

こんにちは。今回はカテナリー曲線とその類似関数のグラフの特徴を示しておきます。頻出系の関数ですので, グラフの概形など覚えておきましょう。後に補足として, カテナリー曲線の長さと面積の性質を記しておきます。

カテナリー曲線

$y=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$ カテナリー
$f(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$ とおくと,
$f'(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$
$f''(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}>0$
$f'(x)=0$ となるのは, $x=0$ のとき, このときこの曲線は極小値をとり, その値は $0$ 。
極大値はない。
変曲点は $f''(x)>0$ より, 存在しない。
グラフの漸近線(曲線)は $x\geqq0$ のとき, $y=\dfrac{e^x}{2}$ , $x<0$ のとき, $y=\dfrac{e^{-x}}{2}$ となる。
これは, $x\geqq0$ で, $x\to+\infty$ のとき, $\dfrac{e^{-x}}{2}\to0$ となるので, $f(x)$ は $y=\dfrac{e^x}{2}$ に近づき,
$x<0$ で, $x\to-\infty$ のとき, $\dfrac{e^x}{2}\to0$ となるので, $f(x)$ は $y=\dfrac{e^{-x}}{2}$ に近づくことからわかる。

ちなみに, $f(x)=f(-x)$ が成り立つので, カテナリーは偶関数である。

和の部分を差に変えた関数

$y=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$
$f(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$ とおくと,
$f'(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}>0$
$f''(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$
$f'(x)>0$ より, $f(x)$ は単調増加の関数である。よって, 極値は存在しない。
$f''(x)=0$ とすると, $x=0$ なので, 変曲点は $(0, 0)$ になる。
グラフの漸近線(曲線)は $x\geqq0$ のとき, $y=\dfrac{e^x}{2}$ , $x<0$ のとき, $y=-\dfrac{e^{-x}}{2}$ となる。
これは, $x\geqq0$ で, $x\to+\infty$ のとき, $\dfrac{e^{-x}}{2}\to0$ となるので, $f(x)$ は $y=\dfrac{e^x}{2}$ に近づき,
$x<0$ で, $x\to-\infty$ のとき, $\dfrac{e^x}{2}\to0$ となるので, $f(x)$ は $y=-\dfrac{e^{-x}}{2}$ に近づくことからわかる。

ちなみに, $f(x)=-f(-x)$ が成り立つので, この関数は奇関数である。

カテナリー曲線の性質

カテナリー曲線の性質として, ある区間の曲線の長さ $L$ は, その区間の面積 $S$ に比例するというものがあります。

実際に積分区間を $\left[ 0, a \right]$ として, $L$ , $S$ を求めてみる。
$y=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$ とすると,
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$ である。
これより,
$\begin{array}{lll}1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2&=&1+\left(\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^2\\&=&\dfrac{4+\left(e^x\right)^2-2+\left(e^{-x}\right)^2}{4}\\&=&\dfrac{\left(e^x\right)^2+2+\left(e^{-x}\right)^2}{4}\\&=&\left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2\end{array}$
よって,
$\begin{array}{lll}L&=&\displaystyle\int_0^a\sqrt{1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2}\, dx\\.&=&\displaystyle\int_0^a\sqrt{\left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2}\, dx\\&=&\displaystyle\int_0^a\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\, dx\\&=&\left[\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\right]_0^a\\&=&\dfrac{e^a-e^{-a}}{2}\end{array}$

ここで, 面積 $S$ は,
$S=\displaystyle\int_0^a\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\, dx$ となり, これは先の結果より,
$S=\dfrac{e^a-e^{-a}}{2}$ となる。

このことから,
$L=S$ が成り立つ。

カテナリー曲線

和の部分を差に変えた関数

カテナリー曲線の性質

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