高校数学：数III積分：xⁿe^x系の積分漸化式

こんにちは。 $x^ne^x$ 系の頻出系の漸化式を書いていきます。基本的に積分漸化式は部分積分を用いて攻略していきます。

xⁿe^x系の漸化式

【例】 $I_n=\displaystyle\int x^n e^x\, dx$ について, $I_{n+1}$ と $I_n$ の関係を示せ。

【解答例】
$I_{n+1}=\displaystyle\int x^{n+1} e^x\, dx$ として部分積分していく。
$\begin{array}{lll}I_{n+1}&=&\displaystyle\int x^{n+1} e^x\, dx\\&=&x^{n+1}e^x-(n+1)\displaystyle\int x^ne^x\, dx\\&=&x^{n+1}e^x-(n+1)I_n\end{array}$
よって,
$I_{n+1}=x^{n+1}e^x-(n+1)I_n$
出題の傾向としては積分区間が0～1で出題されることが多いです。

【例】 $I_n=\displaystyle\int x^ne^{-x^2}\, dx$ が $I_{n+2}=\dfrac{n+1}{2}I_n-\dfrac12x^{n+1}e^{-x^2}$ となることを示せ。

【解答例】
$\begin{array}{rll}I_n&=&\displaystyle\int x^ne^{-x^2}\, dx\\&=&\dfrac{x^{n+1}}{n+1}e^{-x^2}-\displaystyle\int\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\cdot e^{-x^2}\cdot(-x^2)'\, dx\\&=&\dfrac{x^{n+1}}{n+1}e^{-x^2}+\dfrac{2}{n+1}\displaystyle\int x^{n+2}e^{-x^2}\, dx\\&=&\dfrac{x^{n+1}}{n+1}e^{-x^2}+\dfrac{2}{n+1}I_{n+2}\\\dfrac{2}{n+1}I_{n+2}&=&I_n-\dfrac{x^{n+1}}{n+1}e^{-x^2}\\I_{n+2}&=&\dfrac{n+1}{2}I_n-\dfrac12x^{n+1}e^{-x^2}\end{array}$
よって,
$I_{n+2}=\dfrac{n+1}{2}I_n-\dfrac12x^{n+1}e^{-x^2}$
出題の傾向としては積分区間が0～1で出題されることが多いです。