今回は2019年度山口県の平面図形の問題です。
右の図のような、おうぎ形ABCがあり、上に点Dをとり、
上に点Eを、
となるようにとる。また、線分AEと線分BCの交点をF、線分AEの延長と線分BDの延長の交点をGとする。
次の(1)、(2)に答えなさい。
(1) △GAD∽△GBFであることを証明しなさい。
(2) おうぎ形ABCの半径が8cm、線分EGの長さが2cmであるとき、線分AFの長さを求めなさい。
![](https://mathtext.info/blog/wp-content/uploads/2020/02/1yohaku.png)
答え
(1)
△GADと△GBFで
に対する円周角は等しいので、
・・・①
共通な角なので
・・・②
①、②より2組の角がそれぞれ等しいので
△GAD∽△GBF
(2)
△ABCは二等辺三角形なので
・・・①
また△ABDも二等辺三角形なので
![Rendered by QuickLaTeX.com \angle{\text{ABD}}=\angle{\text{ADB}}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-306a3042666ecb9490ae2be216f3bbd6_l3.png)
ここで
であり、
であるから
![Rendered by QuickLaTeX.com \angle{\text{ABC}}=\angle{\text{AGD}}=\angle{\text{ACF}}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b2375debdef2db27731c63d6f0ac4693_l3.png)
また
から
2組の角がそれぞれ等しいので
△GAD∽△CAF
よって
CA:AG
AF:AD
8 : 10
: 8
![Rendered by QuickLaTeX.com x=6.4](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1e37b53a2225a6e49ea78ebe7eab2e68_l3.png)
6.4cm
△GADと△GBFで
![Rendered by QuickLaTeX.com \arc{\text{DE}}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-da338ecba4d736a257c90002c3984c01_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \angle{\text{GAD}}=\angle{\text{GBF}}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a970c72d85a2d61d023e7920743610d9_l3.png)
共通な角なので
![Rendered by QuickLaTeX.com \angle{\text{AGD}}=\angle{\text{BGF}}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8814d085f5930b38b361c28ed07ab896_l3.png)
①、②より2組の角がそれぞれ等しいので
△GAD∽△GBF
(2)
△ABCは二等辺三角形なので
![Rendered by QuickLaTeX.com \angle{\text{ACB}}=\angle{\text{ABC}}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dc108ee17fc3a5b6e3ce8142df7afc2a_l3.png)
また△ABDも二等辺三角形なので
![Rendered by QuickLaTeX.com \angle{\text{ABD}}=\angle{\text{ADB}}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-306a3042666ecb9490ae2be216f3bbd6_l3.png)
ここで
![Rendered by QuickLaTeX.com \angle{\text{ABD}}=\angle{\text{ABC}}+\angle{\text{GBF}}=\angle{\text{ADB}}=\angle{\text{AGD}}+\angle{\text{GAD}}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d37455eb31ba85bb155aa4c5e552cf77_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \angle{\text{GAD}}=\angle{\text{GBF}}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a970c72d85a2d61d023e7920743610d9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \angle{\text{ABC}}=\angle{\text{AGD}}=\angle{\text{ACF}}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b2375debdef2db27731c63d6f0ac4693_l3.png)
また
![Rendered by QuickLaTeX.com \angle{\text{CAF}}=\angle{\text{GAD}}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-716ad499cdb91a01b488f40d7ecfa861_l3.png)
2組の角がそれぞれ等しいので
△GAD∽△CAF
よって
CA:AG
![Rendered by QuickLaTeX.com =](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-168cbc7066049ab4eed81c42c40faad5_l3.png)
8 : 10
![Rendered by QuickLaTeX.com = x](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7dc18fc21cbccce161b442f97a75c9ca_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x=6.4](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1e37b53a2225a6e49ea78ebe7eab2e68_l3.png)
6.4cm