TikZ：2019年度・福島県：立体の問題

こんにちは。相城です。久しぶりにこういう問題解いたので苦戦したなぁという感想です。面白い問題ですので、それではどうぞ。

福島県

下の図のような、1辺12cmの正四面体OABCがあります。辺BCの中点をMとする。このとき、次の(1)、(2)の問いに答えなさい。
(1)　線分OMの長さを求めなさい。
(2)　辺OCの中点をDとし、辺OB上に線分AEと線分EDの長さの和が最も小さくなるように点Eをとる。また、線分AM上にAP : PM $=$ 4 : 5となる点Pをとり、3点A、D、Eを通る平面と線分OPとの交点をQとする。
①　線分OMと線分DEとの交点をRとするとき、線分ORと線分RMの長さの比を求めなさい。
②　三角錐QPBCの体積を求めなさい。

答え

(1)　OMは1辺12cmの正三角形の高さなので、 $6\sqrt{3}$ cm
(2) ①

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Mを通りOCに平行な線分KMを引く、KMとADの交点をLとすると、
KLは△ADOで中点連結定理より3、これからML $=$ 9、またOD $=$ 6で△ODR∽△MLRで相似比はOD : ML $=$ 6 : 9 $=$ 2 : 3 $=$ OR : RM。
よって2 : 3・・・答え
②

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△OAMを書き出すと、

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これより、OP : QP $=$ 5 : 2。すなわち求める三角錐の高さは三角錐OABCの $\dfrac{2}{5}$ 倍・・・①。
こんどは底面の正三角形を真上から見ると、下図のようになり、三角錐QPBCの底面である△PBCは正三角形ABCの $\dfrac{5}{9}$ 倍・・・②であることが分かる。

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①、②より、求める体積は正四面体OABCの体積の
$\dfrac{2}{5}\times\dfrac{5}{9}=\dfrac{2}{9}$ 倍。
したがって、
三角錐QPBC
$=12\times 6\sqrt{3}\times\dfrac{1}{2}\times 4\sqrt{6}\times\dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{9}=32\sqrt{2}$
32 $\sqrt{2}$ cm $^3$ ・・・答え